ЖУРНАЛ «СТА» №4/2007

90 СТА 4/2007 www.cta.ru ваются исследованием реакции системы на ступенчатое из- менение уставки r ( t ), шум измерений n ( t ) и внешние возму- щения d ( t ). Потеря устойчивости проявляется как неограни- ченное возрастание управляемой переменной объекта или как её колебание с нарастающей амплитудой. В производственных условиях попытки добиться устой- чивости системы с ПИДрегулятором опытным путём, без её идентификации, не всегда приводят к успеху (в первую очередь это касается систем с объектом высокого порядка или с объектами, которые трудно идентифицировать, а так- же систем с большой транспортной задержкой). Создаётся впечатление, что устойчивость – мистическое свойство, которым не всегда можно управлять. Однако если процесс идентифицирован достаточно точно, то мистика исчезает и анализ устойчивости сводится к анализу дифференциаль- ного уравнения, описывающего замкнутый контур с обрат- ной связью. Практически интерес представляет анализ запаса устойчи- вости , то есть определение численных значений критериев, которые позволяют указать, как далеко находится система от состояния неустойчивости. Наиболее полную информацию о запасе устойчивости системы можно получить, решив дифференциальное уравне- ние, описывающее замкнутую систему при внешних возму- щениях. Однако этот процесс слишком трудоёмок, поэтому для линейных систем используют упрощённые мето- ды, позволяющие дать оценку запаса устойчивости без решения уравнений [5]. Мы рассмотрим два метода оценки: с помощью годографа комплексной частотной характеристики разомкнутого контура (критерий Найквиста) и с помощью логарифмических АЧХ и ФЧХ (диаграмм Боде). Устойчивая система может стать неустойчивой при небольших изменениях её параметров, например, вследствие их технологического разброса. Поэтому далее мы проанализируем функцию чувствительности системы с ПИДрегулятором, позволяющую выявить условия, при которых система становится грубой (ма- лочувствительной к изменению её параметров). Систему, которая сохраняет заданный запас устой- чивости во всём диапазоне изменений параметров вследствие их технологического разброса, старения, условий эксплуатации, во всём диапазоне изменений параметров нагрузки, а также во всём диапазоне дейст- вующих на систему возмущений в реальных условиях эксплуатации, называют робастной . Иногда робаст- ность и грубость используют как эквивалентные поня- тия. Критерий Найквиста Рассмотрим систему, состоящую из контроллера R и объ- екта управления P (рис. 12), которая получена путём исклю- чения цепи сигнала уставки из классической системы с ПИДрегулятором [1]. Будем считать, что обратная связь ра- зомкнута, а для её замыкания достаточно соединить точки x и y . Предположим теперь, что на вход x подан сигнал (3) Тогда, пройдя через регулятор и объект управления, этот сигнал появится на выходе y с изменённой амплитудой и фа- зой в виде: (4) где G ( j ω ) = R ( j ω ) P ( j ω ) – комплексная частотная характери- стика (КЧХ) системы, ϕ = arg( G ( j ω 0 )) – аргумент КЧХ, | G ( j ω 0 )| – модуль КЧХ на частоте ω 0 . Таким образом, при про- хождении через регулятор и объект амплитуда сигнала изме- нится пропорционально модулю, а фаза – на величину аргу- мента КЧХ. Если теперь замкнуть точки x и y , то сигнал будет цирку- лировать по замкнутому контуру, причём будет выполнять- ся условие y ( t ) = x ( t ). Если при этом | G ( j ω 0 )| ≥ 1 и ϕ = 180°, то есть после прохождения по контуру сигнал попадает на вход регулятора в той же фазе, что и на предыдущем цикле, то после каждого прохождения по контуру амплитуда сину- соидального сигнала будет возрастать, пока не достигнет границы диапазона линейности системы, после чего форма колебаний станет отличаться от синусоидальной. В этом случае для анализа устойчивости можно использовать ме- тод гармонической линеаризации, когда рассматривают только первую гармонику искажённого сигнала. В устано- вившемся режиме после наступления ограничения ампли- туды колебаний в силу равенства y ( t ) = x ( t ) будет выпол- няться условие: (5) Решив уравнение G ( j ω 0 ) = –1, можно найти частоту коле- баний ω 0 в замкнутой системе. В З АПИС Н УЮ К НИЖК У ИНЖЕ Н Е РА ю с с д в н е а ц т м п ч т н н т к м р н н м н т р т ч в с я л е с о р н н р т н л м р м н е т л б н р т щ п т д и в с в н л в я п к б с т в с т м г л т р н т ф к ц г в д п х в р с е с т е т с к г р к е т м т р н т ф ц р в т ш п н д к д ч л н т ч в т ч с с в т р г н л н к л ц т ф ц р в т т н н т к ч з е л т ч в с д с л з ф р ц а г н н с в щ г н т т р з т ч с т р с л е л п с т ч р д л н л н ч н т р е т р з л ю з л к х д с т м с н у т ч в с б л н ф м ц п с т ч в с т м н л ч ш ф р ц а н н с в щ н т т м н м н я н к ц к д э м н н т п з ю р т з л щ к п с т ч в с ш н н н с р т д к м щ д г ф п н т н р т р с к з н т г т р т р в с м щ г р м ч с г д т ч в т м ж у т ч в б ш м н н я р м р п м с в н л г ч с г б с э м л а л з р е ц с в т н с т м г л т р з л ю я л в т р т м н в с б с в т н м н н р м р т м т р х н е д н п т в с п з н м н н р м р с в н л г ч с г б с р н л в п т ц п з н м н н р м р г к ж п з н с щ т м м щ н а н л в я п т ц з в ю б с н г б с б п з ю в в л н н т р в с с р т м с щ т л р т л н т р л ч н к н п н л т к с ч с т м г л т р д т р н н т м к н т т н е н к п л ж п д н г д р г л т е л н н в с х д м п т д д т н р т р к т м г м д т т к жд н р г л т е п т д н л м с п ц н н д л з л ч н г т л п н к н д к р в н т м т р д п н л в с х жд н т р н п д е г л т р з д д щ л с жд г х жд н т р п т д н д н г н л д р т к т н н ц п з н н н с т м с г м л б н н л ч с н с д н ч л з т ч в с н п з в м н ч с н р з ц г с р в ю к в м н к к г н л т н ш с ж м с с пл н р н ч н п д л б н л в с в д п с л в (5) ш н н т т л н н т т м 0 0 ( ) 1, 180 , то есть ( ) 1. G j G j ° ω = ϕ = ω = − ( ) 0 0 ( ) ( ) sin , y t G j t = − ω ω + ϕ 0 ( ) sin( ). x t t = ω У КНИЖК У ИНЖЕ Н Е РА Рис. 12. Структура разомкнутой системы управления с ПИД регулятором для анализа устойчивости Рис. 13. Три годографа КЧХ разомкнутой системы G ( j ω ) для объекта второго порядка при T 1 = T 2 = 0,1 с, L = 0,01 с и пропорциональном коэффициенте регулятора K = 6 © 2007, CTA Тел.: (495) 234 0635 Факс: (495) 232 1653 http://www.cta.ru - Х азо кнутой систе G ( j ) для объекта второго с э т