СТА 1/2010

102 СТА 1/2010 www.cta.ru В ЗАПИСНУЮ КНИЖК У ИНЖЕ Н Е РА Погрешность при наличии узкополосных помех Рассмотрим теперь влияние на погрешность измерений узкополосных помех из сети с частотой 50 Гц и от цифровой части средства измерений. Предположим, что среднеквадра! тическое отклонение помехи определяется её основной гар! моникой: (17) где ƒ s = 1/ T s , T s — период колебания, A — амплитуда. По! скольку измерения выполняются в дискретные моменты вре! мени с постоянным интервалом T , то величина погрешности измерений будет зависеть от соотношения T s , T и количества измерений. Рассмотрим сначала погрешность, вызванную помехой с частотой 50 Гц. Многократные измерения с периодом T экви! валентны дискретизации помехи в моменты измерений. Если период измерений стабилен, то помеха переносится в низко! частотную область благодаря алиасному (стробоскопическо! му) эффекту. Представим моменты измерений в виде: (18) где M = 1, 2, … — целое число, 0 < δ < 1 — доля периода, — порядковый номер измерения. Тогда уравне! ние помехи (17) после дискретизации можно записать в виде: Здесь использована известная формула тригонометрии для косинуса суммы углов и соотношение cos(2 πƒ s MT ) = 1. Количество измерений K T , приходящихся на период алиас! ной помехи, можно найти из соотношения 2 πƒ s δ T s K T = 2 π , от! куда K T = 1/ δ . Интервал времени между измерениями, как следует из (18), равен T = M T s + δ T s , поэтому период алиас! ных колебаний будет: (19) Таким образом, в результате измерений значений помехи со стабильным интервалом T s её период увеличивается пос! ле дискретизации в (M + δ )/ δ раз; во столько же раз падает частота. Процесс усреднения результатов многократных измерений, выполненных с интервалом T , эквивалентен прохождению сигнала через дискретный sinc!фильтр [3]. Поэтому эффек! тивность ослабления помехи будет зависеть от соотношения ширины окна усреднения (то есть полосы пропускания фильтра), частоты алиасной помехи ƒ а = 1/ T а и частоты ƒ а – 1/ T , полученной вследствие размножения копий спектра алиасной помехи при её дискретизации. a ( ). s s s MT T T T M + δ = = + δ δ δ ( ) cos 2 ( ) cos(2 ). ( ) s s s s s e t A f MT T k A f T k = π + δ = π δ [ ] 0, 2,... k N ∈ ( ) , k s s t MT T k = + δ ( ) cos(2 ), s e t A f t = π Однако, как следует из (19), при δ → 0 (то есть когда на ин! тервале измерений укладывается целое число периодов поме! хи) ƒ а → 0 и частота помехи становится ниже граничной час! тоты усредняющего фильтра, а в пределе получаем постоян! ное смещение на уровень, величина которого зависит от слу! чайной фазы помехи в момент измерений. Поэтому в общем случае ослабить помеху из сети 50 Гц с помощью усреднения невозможно. Теоретически такое ослабление было бы воз! можно только при искусственной синхронизации процесса измерений с сигналом помехи или при измерениях в некор! релированные случайные моменты времени. Рассмотрим теперь случай, когда погрешность измерений вызвана высокочастотной помехой от цифровой части изме! рительной системы. Для неё T s имеет порядок долей микро! секунды. Разброс (нестабильность) меток времени в компью! тере составляет десятые и сотые доли секунды, в ПЛК с опе! рационной системой реального времени — десятки микросе! кунд [3]. Поэтому измерения помехи с частотой более 1 МГц (период менее 1 мкс) не могут быть периодическими. Вели! чина помехи в момент измерения является случайной вели! чиной и определяется законом распределения нестабильнос! ти тактирования p T ( T ) в компьютере или контроллере. К со! жалению, корреляционная функция периода измерений с помощью компьютера или контроллера является неисследо! ванной. Если предположить, что период измерений описыва! ется моделью белого шума, то результат дискретизации поме! хи также будет белым шумом, который учитывается в по! грешности измерений формулой (15). В ЫВОДЫ Из изложенного в данной статье можно сделать следующие выводы. 1. Увеличение точности путём усреднения результатов мно! гократных измерений ограничено не только систематичес! кой составляющей погрешности, но и спектральным соста! вом шума измерений. Фликкер!шум, спектральная плот! ность мощности которого растёт с понижением частоты, ограничивает возможность увеличения точности путём усреднения. 2. Наиболее практичным способом устранения погрешности, обусловленной фликкер!шумом, является периодическая автокалибровка средства измерений. 3. Погрешность усреднения в случае некоррелированной по! грешности не зависит от ширины временного окна N τ , а за! висит только от количества отсчётов N . 4. Усреднение может применяться только при постоянном значении измеряемой величины. В противном случае нуж! но учитывать динамическую погрешность или уменьшать ширину окна усреднения. 5. Усреднение является разновидностью цифровой фильтра! ции методом «скользящего среднего», поэтому может быть использовано и при наличии шумов объекта измерений. Однако этой проблеме посвящена специальная литература. 6. Информация, необходимая для оценки функции автокор! реляции, обычно отсутствует. Для её получения необходи! мо измерять спектральную плотность погрешности автома! тизированными методами измерений [3], что является до! вольно трудоёмкой задачей. Поэтому предложенная мето! дика оценки погрешности при коррелированном шуме мо! жет найти применение в редких случаях, когда целью явля! ется получение максимального количества информации, несмотря на трудозатраты на её получение. ● Рис. 7. Уменьшение нормированного среднеквадратического отклонения σ y / σ x с ростом количества измерений ограничено коэффициентом корреляции r 0 5 10 15 20 25 30 35 0 0,2 0,4 0,6 0,8 N σ σ y x r =0,8 r =0,6 r =0,24 r =0,2 r =0 © СТА-ПРЕСС