СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА 2010-5

коэффициентамиуженебудетобладать свойствамиФНЧ Золотарёва–Кауэра. Для наглядности в таблице представ" лены результаты синтеза рассмотрен" ного фильтра, полученные обсуждае" мыми здесь алгоритмами, в томчисле и модифицированным алгоритмомВИП (MВИП). На рисунке 2 показаны АЧХфильтра до и после округления его коэффици" ентов β i , которые рассчитаны по ис" ходным параметрам, найденным с по" мощью алгоритма МВИП. Как видим, АЧХ фильтра с непрерывными коэф" фициентами ( M = ∞ ) намного хуже АЧХ фильтра с округлёнными коэффици" ентами ( M = 8), т.е. округление коэф" фициентов приводит в данном случае к улучшению АЧХ. Это интересный факт, поскольку обычно бывает нао" борот, как на рисунке 1, где округле" ние коэффициентов ухудшает АЧХ идеального ( M = ∞ ) фильтра. Пример 2. Требования к ФНЧ: ~ a 0 ≤ ≤ 0,2 дБ, ~ a 0 ≥ 65 дБ, f 1 n = 0,2125, f 2 n = 0,2875, N = 7, Σ m → min. В [2] найде" но решение с Σ m = 10 и ~ a 0 = 64,88 дБ при M = 6. Это решение удалось улучшить [1], получив Σ m = 8 и ~ a 0 = 65,13 дБ при том же M . Использование алгоритма МВИП приводит к аналогичному улуч" шению. При этом Δ a = 0,005615 дБ, f 1 = 0,207633, f 2 = 0,282827 и N 0 = 6,94. Соответствующие коэффициенты α 0 = =–2 –2 –2 –5 ; α 1 =–2 –1 +2 –4 +2 –6 ; β 1 =2 –2 –2 –5 ; α 2 =–2 –2 ; β 2 =2 –1 +2 –5 ; α 3 =–2 –3 –2 –5 ; β 3 =1– – 2 –3 – 2 –5 совпадают с представленны" ми [1]. Воспроизвестиэторешениемож" нопутёмрасчётаФНЧЗолотарёва–Кау" эра по найденным исходным парамет" рам Δ a , f 1 , f 2 и N 0 с последующим округ" лением коэффициентов до M = 6. На рисунке 3 показаны АЧХ фильтра до и после округления его коэффициентов соответственнопри M = ∞ и M = 6. Как ви" дим, АЧХфильтра с непрерывными ко" эффициентамихуже (хотя ине так зна" чительно, как на рисунке 2) АЧХфильт" ра с округлёнными коэффициентами. Пример 3. Требования к полуполос" ному ФНЧ: ~ a 0 ≥ 46 дБ, f 2 n = 0,27, N = 9, Σ m → min и/или M → min. В [4] с по" мощью алгоритма, сочетающего ВИП иВК, удалось получить решение с Σ m = 6, M = 8 и ~ a 0 = 46,13 дБ. Использование только МВИП позволяет найти анало" гичныйрезультат. При этом f 2 = 0,2706и N 0 = 8,89, а соответствующие коэффи" циенты совпадают с найденными в [4]. Применение алгоритма ВИП не даёт решений для M < 8. Алгоритм МВИП приводит к допустимому результату с M = 7, Σ m = 8 и ~ a 0 = 46,08 дБ. При этом f 2 = 0,2703и N 0 = 8,90, а соответствующие коэффициенты β 1 =0,125; β 2 =0,4140625; β 3 = 0,6953125; β 4 = 0,90625. Воспроиз" вести это решение можно путём расчё" та ФНЧ Золотарёва–Кауэра по найден" ным f 2 и N 0 с последующим округлени" ем его коэффициентов до M = 7. На рисунке 4 показаны АЧХ фильтра до и после округления его коэффициентов соответственно при M = ∞ и M = 7. Как и в примерах 2 и 3, снова наблюдается улучшение АЧХ фильтра после кванто" вания его коэффициентов. В отличие от примера 1, представ" ленные решения получены в рамках полуполосного проектирования (два варьируемых параметра f 2 и N 0 ), т.е. без обращения к общему случаю (четыре варьируемых параметра) и без предна" меренного обнуления всех коэффици" ентов α i . З АКЛЮЧЕНИЕ Предложенная модификация алго" ритма ВИП для синтеза цифровых фильтров на основе фазовых цепей с конечной длиной слова коэффициен" тов может приводить к существенному улучшению решений. В частности, ослабление АЧХ можно увеличить на 25 дБ или уменьшить длину слова на 3 бита (27%). Для двух примеров полу" чены глобально оптимальные реше" ния, ранее найденные исчерпываю" щим перебором коэффициентов в очень большой области их измене" ния. Однако модифицированный ал" горитм не гарантирует нахождения глобальных решений во всех случаях и не всегда приводит к улучшению ре" шений, полученных обычным алго" ритмом ВИП. Л ИТЕРАТУРА 1. Yli Kaakinen J., Saramaki T. A systematic algo" rithm for the design of lattice wave digital fil" ters with short"coefficient wordlength. IEEE Trans. on CAS"I. 2007. Vol. 54. No. 8. PP. 1838–1851. 2. Мингазин А.Т . Синтез цифровыхфильтров на основе фазовых цепей с конечной дли" ной слова коэффициентов. Вторая между" народная конф. «Цифровая обработка сиг" налов и ее применения» (DSPA). 1999. Т. 1. С. 112–116. 3. Milic L.D., LutovacM.D. Design ofmultiplierless elliptic IIR filters with a small quantization er" ror. IEEE Trans. 1999. SP"47. No. 2. PP. 469–479. 4. Мингазин А.Т . Синтез полуполосных циф" ровыхфильтров без умножителейна осно" вефазовых цепей.Шестая международная конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (DSPA). 2004. Т. 1. С. 39–41. 5. Krukowski A., Kale I. Two approaches for fixed" point filter design: «bit"flipping» algorithm and constrained downhill simplex method. 5th Int. Symp. on Signal Processing and its Applications (ISSPA). 1999. PP. 965–968. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ 76 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА ◆ № 5 2010 140 120 100 80 60 40 20 0 0 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Частота Амплитуда, дБ М= ∞ М= 8 Рис. 2. АЧХ полуполосного ФНЧ ( N = 15) с непрерывными ( M = ∞ ) и округлёнными ( M = 8) коэффициентами, рассчитанными по исходным параметрам Δ а = 2,1e–12 дБ, f 1 = 0,193386, f 2 = 0,306614 и N 0 = 13,5 при всех α i = 0 80 70 50 60 40 30 20 10 0 0 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Частота Амплитуда, дБ М= ∞ М= 6 Рис. 3. АЧХ ФНЧ ( N = 7) с непрерывными ( M = ∞ ) и округлёнными ( M = 6) коэффициентами, рассчитанными по исходным параметрам Δ а = 0,005615 дБ, f 1 = 0,207633, f 2 = 0,282827 и N 0 = 6,94 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Частота Амплитуда, дБ М= ∞ М= 7 Рис. 4. АЧХ полуполосного ФНЧ ( N = 9) с непрерывными ( M = ∞ ) и округлёнными ( M = 7) коэффициентами, рассчитанными по исходным параметрам f 2 = 0,2703 и N 0 = 8,90 Алгоритм ~ a 0 , дБ ( M = 8) M ( ~ a 0 ≥ 98 дБ) ПО 48 16 ВК [5] 85 8 ВК [1] 98 8 ВИП [2] 73 11 МВИП 98 8 Для непрерывных коэффициентов ( M = ∞ ) a 0 = 133 дБ Результаты синтеза полуполосного ФНЧ с N =15 © СТА-ПРЕСС