СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА 2010-5

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ f 2 ) и одним параметром АЧХ ( f 1 или f 2 ). Кроме того, для полуполосногофильт ра α i = 0, i = 0, 1, …, K . М ОДИФИКАЦИЯ АЛГОРИТМА ВИП В алгоритме ВИП, в зависимости от типа фильтра Золотарёва–Кауэра (спе циальный или обычный), вариации подлежат от одного до трёх парамет ров. Были предложены [2] соответству ющие версии алгоритма ВИП. На са мом деле коэффициенты в (1) являют ся также функциями порядка фильтра N . Здесь предлагается, наряду с вариа цией параметров АЧХ в алгоритме ВИП, использовать вариацию поряд ка, который может принимать нецело численные значения в расчётных со отношениях для коэффициентов, но собственно порядок фильтра N при этом остаётся фиксированным и рав ным целому числу. Чтобыизбежать пу таницы, порядок фильтра, входящий в расчётные соотношения и подлежа щий вариации, будем далее обозначать как N 0 . Итак, в модифицированном таким образом алгоритме ВИП, в зависимос ти от типа фильтра, вариации подле жит от двух до четырёх параметров. Напомним, что число переменных в методе ВК равно N для обычного фильтра, ( N + 3)/2 для Q min фильтра и ( N – 1)/2 для полуполосного фильтра. П РИМЕРЫ СИНТЕЗА Ниже рассмотрены три примера синтеза с помощью модифицирован ного алгоритма ВИП, которые оправ дывают введение вариации N 0 . В пер вом примере требуется максими зировать ослабление АЧХ в полосе задерживания ~ a 0 при заданной длине слова коэффициентов M . Здесь и да лее знак ~ означает соответствие ре шению с квантованными коэффици ентами. Этот пример синтеза полупо лосного фильтра c N = 15 упоминался выше и обсуждается достаточно под робно. Во втором примере синтеза ФНЧ требуется минимизировать общее число сумматоров Σ m , заменяющих умножители. Для этих двух примеров получены [1] глобально оптимальные решения алгоритмом полного пере бора коэффициентов. В третьем примере для полуполос ного фильтра, рассмотренного ранее [4], решаются задачи минимизации Σ m и/или M . Далее используются следующие обо значения: q = 2 –M шаг квантования коэф фициентов, а f 1 n и f 2 n – номинальные граничные частоты. Все приводимые значения граничных частот нормиро ваны относительно частоты дискрети зации. Пример 1 . Требования к полуполос ному ФНЧ: ~ a 0 → max, f 1 n = 0,5 – f 2 n , f 2 n = 0,3125, N = 15 и M = 8. Для полуполосного ФНЧ Золотарё ва–Кауэра с непрерывными (M= ∞ ) ко эффициентами ослабление a 0 = 133 дБ. Простое округление (ПО) коэффици ентов до M = 8 даёт ~ a 0 = 48 дБ. На рисун ке 1 показаны соответствующие АЧХ фильтра до и после округления его ко эффициентов. Алгоритмами ВК найдены [1, 5] ре шения с ~ a 0 = 98 дБ и ~ a 0 = 85 дБ соответ ственно. Напомним, что в [1] использо ван алгоритм полного перебора на очень большом пространстве поиска квантованных коэффициентов. При менение алгоритма ВИП [2] приводит к решению лишь с ~ a 0 = 73 дБ. Сравнение коэффициентов из [1] и найденных с помощью алгоритма ВИП показывает очень сильное различие, для некото рых из них – вплоть до 9 q . Только при M = 11 в случае применения алгоритма ВИПи лишь при M = 16 в случае исполь зования ПОможно получить ~ a 0 ≥ 98 дБ. Заметим, что для другого полуполос ного фильтра с N = 11 найдены [1, 2] идентичные результаты, причём реше ние в [2] соответствует начальному приближению. Интересными оказались следующие наблюдения. Для полуполосногофиль тра Золотарёва–Кауэра при a 0 ≥ 98 дБ и данных граничных частотах мини мальный порядок N = 12 и a 0 = 105 дБ. Известно, что для рассматриваемой структуры порядок фильтра может быть только нечётным. Для фильтра c N = 13 в случае непрерывных коэффи циентов ослабление a 0 = 115 дБ. Если для N = 13 выполнить расчёт одного из начальных приближений согласно [2], то соответствующие коэффициен ты оказываются гораздо ближе к ко эффициентам из [1], чем при N = 15. Максимальное отличие составляет не более 5 q . Для «несуществующего» фильтра с N = 14 коэффициенты на чального приближения оказываются ещё ближе, а именно на расстоянии не более 3 q . Далее, если для N = 15 рассчитать на чальные приближения, как в [2], но по ложить при этом в расчётных соотно шениях для коэффициентов порядок 13,58 ≤ N 0 ≤ 13,62, то получим одно из приближений с ~ a 0 = 48 дБ, отличающе еся от решения [1] только одним коэф фициентом и лишь на q . Этот коэффи циент β 1 = 0,00390625, а в [1] β 1 = = 0,0078125, и, напомним, получено ~ a 0 = 98 дБ. Как видим, цена «малого» от личия β 1 (всего на q , но в тоже время в два раза) составляет 98 – 48 = 50 дБ. По добрать N 0 так, чтобы β 1 оказалось рав ным0,0078125, но без одновременного изменения других коэффициентов, не удаётся. Здесь уместно вспомнить, что коэф фициенты полуполосных фильтров Золотарёва–Кауэра являются также функциями частоты f 2 . Поэтому была сделана попытка найти решение [1], применив вариациюдвухпараметров – N 0 и f 2 . Однако это позволило лишь не значительно улучшить упомянутое вы ше решение, найденное с помощьюал горитма ВИП [2]. Переход от полупо лосного фильтра к Q min фильтру с последующей вариацией его парамет ров f 1 , f 2 и N 0 также не увенчался успе хом. И всё же решение [1] с ~ a 0 = 98 дБ мож нонайти с помощьюпредлагаемого ал горитма ВИП, перейдя от полуполос ного фильтра к обычному ФНЧ и ис пользуя вариациюпараметров Δ a , f 1 , f 2 , N 0 , положив все α i = 0 (как в полуполос ном фильтре). Действительно, еслипоисходнымпа раметрам Δ a = 2,1 × 10 –12 дБ (или 1,37 × × 10 –10 дБ), f 1 = 0,193386, f 2 = 0,306614 и N 0 = 13,5, найденным с помощью мо дифицированного алгоритма, рас считать ФНЧ Золотарёва–Кауэра, по ложить все α i = 0 и округлить все β i до M = 8, то получим коэффициенты из [1]: β 1 = 0,0078125; β 2 = 0,0546875; β 3 = 0,16015625; β 4 = 0,30859375; β 5 = 0,48046875; β 6 = 0,66796875; β 7 = 0,87890625. Заметим, что N 0 – не це лое число, иФНЧдаже снепрерывными 75 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА ◆ № 5 2010 140 120 100 80 60 40 20 0 0 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Частота Амплитуда, дБ М= ∞ М= 8 Рис. 1. АЧХ полуполосного ФНЧ ( N = 15) с непрерывными ( M = ∞ ) и округлёнными ( M = 8) коэффициентами, рассчитанными для исходной граничной частоты f 2 = 0,3125 © СТА-ПРЕСС