СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА 2011-1

тересно, что для варианта 1 при всех Δ = 8 можно вместо δ = 1 использовать δ = 0. Так или иначе, цена устранения предельных циклов для отдельных звеньев составляет 0, 1 или 2 бита и зависит от варианта определения па раметров Δ и δ . Пример 2. Параметры синтезиро ванного каскадного ФНЧ 12 го по рядка: ● граничные частоты 0 , 10625 и 0,109375; ● неравномерность АЧХ в полосе про пускания 0,076 дБ; ● ослабление АЧХ в полосе задержива ния ≥ 60 дБ; ● максимальный коэффициент пере дачи от входа фильтра до выхода каждого звена 0 дБ; ● соответствующие значения коэффи циентов (1) приведены в таблице 3. Результаты расчёта параметров Δ , δ и Δ + δ представлены в таблице 4. Полу ченные значения δ для цепей прямой и δ + Δ для цепей обратной связи сущест венно отличаются и зависят от вариан тов их определения. Можно убедиться путём расчёта, что если в данном фильтре не исполь зовать округления между звеньями, то значения дополнительной длины слова для этих цепей будут совпадать с представленными в колонке δ + Δ таблицы 4. Это означает, что введе ние округления между звеньями даёт существенную экономию дополни тельной длины слова в цепях прямой связи фильтра, особенно для вариан тов 1 и 2. Разброс по параметру Δ для вариан та 4, которому свойственно отсутствие предельного цикла при нулевом вхо де, здесь составляет 4 бита, а в примере 1 – всего 1 бит. Как видим, выбор Δ со гласно варианту 2 обеспечивает (усло вия (5) выполнены), а согласно вари антам 1 и 3, не обеспечивает отсут ствие предельных циклов. Последнее положение можно исправить, заменив все Δ = 3 на Δ = 5 или на 4, 3, 4, 5, 5, 5 и 4, 3, 4, 5, 5, 3 соответственно для вариан тов 1 и 3. Таким образом, цена устране ния предельных циклов для отдельных звеньев составляет 0, 1 или 2 бита и за висит от варианта определения пара метров Δ и δ . З АКЛЮЧЕНИЕ Использование округления межу звеньями каскадного БИХ фильтра, наряду с округлением внутри звень ев, позволяет выбирать неодинако вые значения длины слова перемен ных в цепях прямой и обратной свя зи. В статье представлены варианты определения длины слова в этих цепях, основанные на критериях ограничения дисперсии, максимума спектральной плотности мощности, верхней границы амплитуды или фактической максимальной ампли туды ошибки, обусловленной округ лениями. Полученные численные результаты для двух фильтров 8 го и 12 го поряд ка позволяют сделать следующие вы воды. Значения длины слова перемен ных в цепях прямой и обратной связи фильтра различаются и зависят от ва риантов их определения. Введение округления между звеньями позволя ет существенно экономить длину сло ва в цепях прямой связи фильтра при её сохранении или увеличении в це пях обратной связи, но не более чем на 1 бит. Кроме того, благодаря зна нию фактических максимальных амплитуд предельного цикла для от дельно взятых звеньев, появляется возможность устранить предельные циклы на выходе фильтра при нуле вом входе, но вынуждает увеличивать длины слова переменных в цепях обратной связи отдельных звеньев фильтра. Можно предположить, что это уве личение не потребуется или понадо бится в меньшей степени, если опре деление длины слова выполнить на основе знания фактической макси мальной амплитуды предельного цик ла на выходе фильтра, а не отдельно взятых его звеньев. При этом возмож ное увеличение длины слова в цепях обратной связи необходимо будет вы полнить лишь для последнего звена. К сожалению, поиск фактической мак симальной амплитуды, использую щий перебор возможных значений переменных, связан с большими вы числительными затратами, особенно для фильтров среднего и высокого по рядка, что затрудняет его применение на практике. Л ИТЕРАТУРА 1. Butterweck H. J., Ritzerfeld J., Werter M. Finite wordlength effects in digital filters. AEU. 1989. Vol. 43. № 2. PP. 76–89. 2. Dehner G. Noise optimized IIR digital filter design – tutorial and some new aspects. Sig nal Processing. 2003, Vol. 83. PP. 1565–1582. 3. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., По ляк М.Н. Цифровая обработка сигналов: Справочник. Радио и связь, 1985. 4. Мингазин А.Т. Расчёт масштабных множи телей и дисперсии шума каскадных ре курсивных цифровых фильтров. Элек тронная техника. Серия 10. 1991. № 2. С. 41–46. 5. Oses del Campo J.D, Cruz Roldan F., Utrilla Manso M. Tighter limit cycle bounds for di gital filters. IEEE Signal Processing Letters. 2006. Vol. 13. № 3. PP. 149–152. 6. Djebbari A., Belbachir M.F., Rouvaen J.M. A fast exhaustive search algorithm for checking limit cycles in fixed point digital filters. Sig nal Processing. 1998. Vol. 69. PP. 199–205. 7. Мингазин А.Т. Программа DIFID: Эффек тивный синтез каскадных цифровых БИХ фильтров. 4 я Международная кон ференция «Цифровая обработка сигналов и её применение (DSPA)». 2002. Т. 1. С. 90–93. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ 74 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА ◆ № 1 2011 Таблица 3. Коэффициенты каскадного ФНЧ 12 го порядка i a 1 i a 2 i b 0 i = b 2 i b 1 i 1 –1,423828125 0,52734375 0,03662109375 0,0302734375 2 –1,4677734375 0,68212890625 0,208984375 –0,20361328125 3 –1,51220703125 0,837890625 0,521484375 –0,71728515625 4 –1,5390625 0,9287109375 0,7666015625 –1,1435546875 5 –1,55224609375 0,97216796875 0,8955078125 –1,37158203125 6 –1,56103515625 0,99267578125 0,94580078125 –1,4609375 Таблица 4. Результаты расчёта параметров Δ , δ и Δ + δ для ФНЧ 12 го порядка № Критерий Δ , бит δ , бит δ + Δ , бит 1 σ + σ ≤ σ 2 2 2 1 2 0 3 2 5 2 5 4 9 3 3 7 10 4 A i × 2 – Δ < 1/2, i = 1, 2, ..., 6 4, 3, 4, 5, 5, 7 – – © СТА-ПРЕСС