СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА 2011-3

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ 74 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА ◆ № 3 2011 полнительных математических вы кладок. В данной статье предпринята по пытка использования для синтеза упругомассовых систем достаточно простого и физически прозрачного метода синтеза по желаемой переход ной характеристике [3], который обес печивает требуемые параметры пере ходных процессов и, на наш взгляд, может применяться в инженерной практике. М ЕТОД СИНТЕЗА САУ ПО ЖЕЛАЕМОЙ ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ Сущность метода заключается в син тезе системы автоматического управ ления (САУ) с заданными показателя ми качества, к которым относятся: ● допустимые величины ошибок в установившихся режимах (статичес кой ошибки, ошибок по скорости, по ускорению и др.); ● требуемый запас устойчивости сис темы; ● допустимое время регулирования (время протекания переходных про цессов); ● допустимая величина перерегули рования (максимально допустимое значение амплитуды колебаний переходной характеристики сис темы). Реализация метода в общем случае заключается в выполнении следующей последовательности действий: ● выбирается тип регулятора, обеспе чивающий требуемый порядок аста тизма для заданной САУ; ● составляется структурная схема син тезируемой САУ и находится её пере даточная функция: ; ● записывается изображение по Ла пласу X ( p ) переходной характерис тики этой системы x ( t ), в коэффици енты которого A i и B i входят искомые параметры регулятора: , A n ≠ 0; (2) ● задаются допустимые значения па раметров перерегулирования σ и времени регулирования t р и соотве тствующая имжелаемая переходная характеристика x *( t ) в виде её изоб ражения по Лапласу: , α m ≠ 0, (3) где W *( p ) – передаточная функция эталонной системы, выбор кон кретных параметров α i и β i которой обеспечивает требуемые свойства желаемой переходной характерис тики x *( t ); ● рассчитываются параметры регу лятора по соотношениям, полу ченным путём минимизации от клонения переходного процесса синтезируемой системы от жела емого. Поясним процедуру получения рас чётных соотношений. Величина отклонения ε ( t ) синте зируемого процесса x ( t ) от желаемо го x *( t ) оценивается с помощью раз ности: ε ( t ) = x ( t ) – x *( t ). (4) Выполнив преобразование Лапласа над уравнением (4), запишем: . (5) Подставив в формулу (5) выражения (2) и (3), получим: , (6) где можно представить в виде от ношения двух полиномов по возрас тающим степеням комплексной вели чины p : . (7) Если функция (7) не имеет полюсов в начале координат, то для определён ной области значений p её можно за писать в виде сходящегося ряда по воз растающим степеням комплексной ве личины p : , (8) коэффициенты которого R j легко определяются путём деления числите ля на знаменатель дробно рациональ ной функции (7), что приводит к ре куррентной формуле: ; ( j = 1, 2, 3). (9) Из выражений (7) и (9) находим: ε ( p ) = R 0 X *( p ) + R 1 pX *( p ) + + R 2 p 2 X *( p ) + … (10) Переходя от изображений к ориги налам, из (10) получимформулу ε ( t ) во временной области: (11) Ряд (10) сходится при малых значе ниях mod p , следовательно, при боль ших значениях t ряд (11) тоже схо дится. Понятно, что отклонение синтези руемого процесса от желаемого умень шается при увеличении числа рав ных нулю первых коэффициентов ряда (11). Далее, приравняв нулю первые r коэффициентов R i , получим систе му r уравнений, из которой можно определить r параметров регулятора. Число искомых параметров выбира ется из условия обеспечения задан ной точности воспроизведения жела емого процесса x *( t ) в синтезируемой системе. С учётом изложенного систе ма уравнений для определения па раметров регулятора принимает вид: © СТА-ПРЕСС