СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА 2011-9

В ВЕДЕНИЕ Известно, что при нулевом входе и произвольных внутренних перемен ных ошибка на выходе цифрового БИХ фильтра, обусловленная кванто ванием (округлениемили усечением) в цепях обратной связи, если не стано вится равной нулю, то принимает де терминированный колебательный ха рактер. На выходе фильтра возникает малый предельный цикл. Важно знать максимальную амплитуду предельных циклов, чтобы оценить степень их до пустимости или полностью устранить их путём более грубого реквантования [1, 2]. Использование существующих гра ниц на максимальную амплитуду пре дельных циклов может давать зани женные или завышенные результаты, что порождает неверные оценки дли ны слова переменных в фильтре. В первом случае это приводит к недопус тимому уровню паразитных колеба ний на выходе фильтра при нулевом входе, во втором – к неоправданным затратам на его реализацию. Фактическая максимальная ампли туда может быть найдена прямым мо ВОПРОСЫ ТЕОРИИ 66 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА ◆ № 9 2011 делированием с помощью алгоритмов исчерпывающего поиска для возмож ных значений переменных внутри фильтра. Однако, эта процедура может потребовать неприемлемых вычисли тельных затрат на компьютере даже для простейших фильтров. Данная статья посвящена проблеме определе ния максимальной амплитуды пре дельных циклов в фильтре второго по рядка прямойформыпри нулевом вхо де, оперирующим с фиксированной точкой и единственным округлением после суммирования. Благодаря на шим исследованиям, выявлены облас ти коэффициентов, в которых факти ческая максимальная амплитуда мо жет быть найдена аналитически по известным соотношениям. Представ ленные результатымогут быть исполь зованы при проектировании более сложных структур фильтров, состоя щих из звеньев не выше второго по рядка, таких как каскадные или парал лельные. С ТРУКТУРА БИХ ФИЛЬТРА ВТОРОГО ПОРЯДКА Структура цифрового БИХ фильтра второго порядка прямойформы пред ставлена на рисунке 1, где единствен ная операция квантования Q выпол няется после суммирования. Под опе рацией квантования будем понимать округление. Положим, что коэффици ентыфильтра находятся в треугольни ке устойчивости, т.е. имеет место усло вие | a 1 | – 1 < a 2 < 1, фильтр оперирует с фиксированной точкой, и абсолютная величина его переменных x n , y n мень ше единицы. Вероятностные оценки ошибки округления Допустим, что для фильтра рис. 1 справедлив известный вероятностный подход для оценки ошибки округле ния. В этом случае ошибка трактуется как шум квантования (округления) с предписанными свойствами. Парамет рышума на выходе фильтра определя ются на основе L 2 или L ∞ нормы для передаточнойфункции цепи от точки округления до выхода фильтра. В на шем случае этой цепи соответствует передаточная функция самого фильт ра H (z), а дисперсия и максимум спек тральной плотности мощности шума на выходе определяются следующими соотношениями: (1) и , (2) где – дисперсияшума кван тования, q – шаг квантования. Оценки уровней шума (1) и (2) ис пользуем далее для сопоставления с оценками уровней предельных цик лов, что полезно выполнять и при про ектировании конкретных фильтров. Верхние границы амплитуды предельных циклов Дляфильтра, представленного на ри сунке 1, рассмотрим три известных варианта оценки верхней границы амплитудыпредельных циклов при ну левом входе ( x n = 0). Первый вариант оценки [3] основан на местоположении т.н. эффектив ных полюсов фильтра, обусловленном округлением, и не всегда даёт верные результаты. Согласно этому методу, максимальная амплитуда предельного цикла при нулевом входе z –1 y n x n –a 1 –a 2 y n–1 y n–2 z –1 Q Рис. 1. Структура БИХ фильтра второго порядка прямой формы с округлением после сумматора Фактическая максимальная амплитуда предельных циклов в цифровом фильтре второго порядка при нулевом входе Александр Мингазин (Москва) В статье рассматривается цифровой БИХ фильтр второго порядка прямой формы, работающий с фиксированной точкой и единственным округлением после суммирования. Сравниваются существующие верхние границы амплитуды предельных циклов при нулевом входе фильтра и их фактическая максимальная амплитуда, найденная прямым моделированием с помощью алгоритма исчерпывающего поиска. Иллюстрируются зависимости максимальной амплитуды от значений коэффициентов фильтра. На основе анализа зависимостей установлены области коэффициентов, где фактическая максимальная амплитуда предельных циклов определяется аналитически. Полученные результаты могут быть использованы при проектировании более сложных структур фильтров, состоящих из звеньев не выше второго порядка, например, каскадных или параллельных. © СТА-ПРЕСС