СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА 2011-9

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ 67 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА ◆ № 9 2011 (3) для полюсов, попадающих на единич ную окружность, и (4) для полюсов, попадающих в точку z = 1 или z = –1 на единичной окружности в z плоскости. Формулы (3) и (4) получены для округления после каждого умножения. Далее приведены соотношения для обсуждаемого нами случая округления после суммирования. Второй вариант оценки – известный детерминированный метод – основан на вычислении l 1 нормы для импульс ной характеристики цепи от точки округления до выхода фильтра. В на шем случае этой цепи соответствует импульсная характеристика самого фильтра h ( n ). Метод даёт абсолютную верхнюю границу амплитуды как при нулевом, так и при произвольном входном сигнале, и может приводить к сильно завышенным результатам. В этом случае (5) Для фильтра с полюсным радиусом, очень близким к единице, и/или с по люсным углом, очень близким к 0 или π , требуется большое время расчёта оценки (5) на компьютере. Были предприняты попытки полу чения замкнутого выражение для [4–6]. Так, авторы [4] нашли точное со отношение в случае действительных полюсов, совпадающее с выражением в скобках (4), и лишь приближённое в случае комплексно сопряженных по люсов. Аналогичные результаты полу чены в [5]. Более точная, но всё же приближённая оценка для комп лексно сопряжённых полюсов пред ложена в [6]. Можно показать, что при a 1 = 0 и 0 < a 2 < 1 (частный случай комп лексно сопряжённых полюсов) норма . В то же время, исполь зование приближённых соотношений из [4] и [6] приводит к превышению этой нормы соответственно в Можно убедиться, что верхнее выра жение для нормы соответствует комплексно сопряжённым полюсам, а нижнее, совпадающее с выражением в скобках (4), – как действительным, так и комплексно сопряжённым полюсам. Учитывая вышеизложенное, можно заключить, что = для любых действительных полюсов и для ком плексно сопряжённых полюсов при a 1 = 0 и 0 < a 2 < 1. В остальных случаях, как известно, ≥ . Условие отсутствия предельных циклов В рассматриваемомфильтре второго порядка при нулевом входе предель и раз, а при a 2 → 1 эти превышения стремятся к 2 и раз. Интересно отметить, что при a 1 = 0 и 0 < | a 2 | < 1 норма соответствует выражению в скобках (3). Третий вариант оценки верхней гра ницы амплитуды предельного цикла [7] основан на вычислении L ∞ нормы для передаточной функции цепи от точки округления до выхода фильтра. В нашем случае имеем оценку: , (6) где ные циклы отсутствуют, если имеет место условие (см., например, [8]): | a 1 | – 0,5 < a 2 < 0,5. (7) Заметим, что в сложных фильтрах, особенно с узкой полосой (пропуска ния, задерживания или переходной), состоящих из ряда звеньев второго по рядка, это условие обычно не выпол няется. Поиск фактической максимальной амплитуды предельных циклов Соотношения (3)–(6) не всегда приводят к верным оценкам мак симальной амплитуды предельных Реклама © СТА-ПРЕСС