СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА 2011-9

туды совпадают с представленными [9, 10]. Для всех примеров из таблицы 2 ре зультаты исчерпывающего поиска и результаты, полученные по соотноше ниям таблицы 1, совпадают. Верхние границы максимальной амплитуды, соответствующие (5) и (6), могут да вать сильно завышенные значения (см. примеры 2 – 4). При стремлении радиуса r к 1 и/или угла θ к 0 или π растёт число вариантов перебора в алгоритме и длительность импульсной характеристики фильтра, что в свою очередь приводит к росту времени выполнения алгоритма на компьютере. Для примеров 1, 5 и 6 это времянесущественно (на компьютере с тактовой частотойпроцессора 2,7 ГГц). Для примеров 2 – 4 время выполнения составляет ≈ 90 с, ≈ 13 мин и ≈ 21 мин со ответственно. Для дополнительного примера при r = 0,9987 и θ = 0,05 ( a 1 = –1,994903, a 2 = = 0,997402) абсолютная верхняя гра ница предельного цикла = = 4901. Количество вариантов пере бора здесь настолько велико (5 × 10 7 ), что для выполнения исчерпывающего поиска с помощью обсуждаемого ал горитма потребовались бы десятки часов работы упомянутого компьюте ра. Заданные коэффициенты a 1 и a 2 соответствуют первой формуле таб лицы 1, расчёт по которой приводит к A max / q = 200. Интересно, что запуски алгоритма при очень малом числе ва риантов (всего 4) и с увеличенным числом до 5 × 10 5 (затраченное вре мя ≈ 27 мин) дают аналогичный ре зультат. З АКЛЮЧЕНИЕ Установлено, что для БИХ фильтра второго порядка прямой формы, опе рирующего с фиксированной точкой и единственным округлением после суммирования, фактическая макси мальная амплитуда предельных цик лов при нулевом входе может быть вы числена по одной из двух хорошо известных простых формул. Путём прямого моделирования с примене нием алгоритма исчерпывающего по иска найдены области коэффициен тов, в которых справедливы эти фор мулы. Для фильтров с полюсными радиу сами, очень близкими к 1, проблема определения фактической максималь ной амплитуды предельных циклов при нулевом входе остаётся по преж нему открытой, т.к. предложенный аналитический подход решает её лишь частично, известные оценки верхней границы могут давать сильно завы шенные результаты, а алгоритмы ис черпывающего поиска требуют непри емлемых временных затрат на ком пьютере. Если же, наряду с уровнем предель ных циклов при нулевом входе, требу ется контролировать максимум спект ральной плотности мощности шума округления, а не его дисперсию, то можно обходиться без нахождения фактической максимальной ампли туды предельных циклов, используя абсолютную верхнюю границу ам плитуды. Это связано с близостью пи кового уровня шума округления и абсолютной верхней границы пре дельных циклов для рассматриваемо го фильтра. Л ИТЕРАТУРА 1. Butterweck H. J., Ritzerfeld J., Werter M. Fi nite wordlength effects in digital filters. AEU. 1989. Vol. 43. № 2. PP. 76–89. 2. Мингазин А. Длина слова переменных в каскадных БИХ фильтрах. Современная электроника. 2011. № 1. С. 70–74. 3. Jackson L.B. An analysis of limit cycles due to multiplication rounding in recursive digital filters. Proc. 7th Annual Allerton Conf. Circuits Theory. 1969. Oct. PP. 69–78. 4. Long J.E., Trick T.N. An absolute bounds on limit cycles due to roundoff errors in digi tal filters. IEEE Trans. 1973. AU 21. Feb. PP. 27–30. 5. Yakowitz S., Parker S.R. Computation of bounds for digital filter quantization error. IEEE Trans. 1973. CT 20. July. PP. 391–396. 6. Chang T.L. A note on upper bounds on limit cycles in digital filters. IEEE Trans. 1976. ASSP 24. Feb. PP. 99–100. 7. Sandberg I.W., Kaiser J.F. A bound on limit cycles in fixed point implementations of digital filters. IEEE Trans. 1972. AU 20. June. PP. 110–112. 8. Bauer P.H., Leclerc L. J. A computer aided test for the absence of limit cycles in fixed point digital filters. IEEE Trans. 1991. SP 24. Nov. PP. 2400–2410. 9. Djebbari A., Belbachir M. F., Rouvaen J.M. A fast exhaustive search algorithm for checking limit cycles in fixed point digital filters. Signal Processing. 1998. Vol. 69. PP. 199–205. 10. Munson D.C., Stricland J.H., Walker T.P. Maximum amplitude zero input limit cy cles in digital filters. IEEE Trans. 1984. CAS 31. March. PP. 266–274. 11. Oses del Campo J.D, Cruz Roldan F., Utrilla Manso M. Tighter limit cycle bounds for digital filters. IEEE Signal Pro cessing Letters. 2006. Vol. 13. № 3. PP. 149–152. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ 70 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА ◆ № 9 2011 Таблица 1. Соотношения для расчёта фактической максимальной амплитуды предельных циклов фильтра, представленного на рисунке 1, при нулевом входе Таблица 2. Примеры оценки максимальной амплитуды предельных циклов и её фактические значение для фильтра, представленного на рисунке 1, при нулевом входе A max Области коэффициентов a 2 ≤ 0,5| a 1 | и | a 1 | – 0,5 ≤ a 2 ≤ 0,7499 ( a 2 > 0,6699 при | a 1 | = 0 или 1) или (0,5 ≤ a 2 ≤ 0,6699 или | a 1 | – 0,5 > a 2 ) 0 | a 1 | – 0,5 < a 2 < 0,5 ? В остальных случаях № a 1 a 2 r θ , рад. A max / q Алгоритм или формулы табл. 1 1 –1,89051 0,9025 0,95 0,1 62 51 41 2 –1,97011 0,9801 0,99 0,1 319 251 50 3 –1,980055 0,990025 0,995 0,1 638 502 50 4 –1,98364 0,990025 0,995 0,08 798 627 78 5 0 0,998001 0,999 1,57083 250 250 250 6 1 0,9801 0,99 1,04136 36 29 25 © СТА-ПРЕСС