ЖУРНАЛ «СТА» №4/2007

92 СТА 4/2007 www.cta.ru Комплексную частотную характеристику G ( j ω ) графиче- ски изображают в виде годографа (диаграммы Найкви- ста) – графика в координатах Re[ G ( j ω )] и Im[ G ( j ω )] (рис. 13). Стрелка на линии годографа указывает направле- ние движения «карандаша» при возрастании частоты. Точка G ( j ω 0 ) = –1, которая соответствует условию существования незатухающих колебаний в системе, на этом графике имеет координаты Re[ G ( j ω )] = –1 и Im[ G ( j ω )] = 0. Поэтому крите- рий устойчивости Найквиста формулируется следующим образом [6]: контур, устойчивый в разомкнутом состоянии, сохранит устойчивость и после его замыкания, если его КЧХ в разомкнутом состоянии не охватывает точку с коор- динатами [–1, j 0 ]. Более строго, при движении вдоль траек- тории годографа в направлении увеличения частоты точка [–1, j 0 ] должна оставаться слева [2], чтобы замкнутый кон- тур был устойчив. На рис. 14 показаны реакции замкнутой системы с тре- мя различными годографами (рис. 13) на единичный ска- чок уставки. Во всех трёх случаях система устойчива, одна- ко скорость затухания колебаний и форма переходного процесса у них различная. Интуитивно понятно, что сис- тема с параметрами T i = 0,01 с, T d = 0,1 с наиболее близка к тому, чтобы перейти в состояние незатухающих колеба- ний при небольшом изменении её параметров. Поэтому при проектировании ПИДрегулятора важно обеспечить не столько устойчивость, сколько её запас, необходимый для нормального функционирования системы в реальных условиях. Запас устойчивости оценивают как степень удалённости КЧХ от критической точки [–1, j 0]. Если | G ( j ω 0 )| < 1, то мож- но найти, во сколько раз осталось увеличить передаточную функцию, чтобы результирующее усиление вывело систему в колебательный режим: g m | G ( j ω 0 )| = 1, откуда (6) Запасом по усилению g m называется величина, на которую нужно умножить передаточную функцию разомкнутой сис- темы G ( j ω 180 ), чтобы её модуль на частоте сдвига фаз 180° ( ω 180 ) стал равен 1. Если на частоте ω 180 коэффициент усиления разомкнуто- го контура равен G ( j ω 180 ) = –1/ g m (рис. 13), то дополни- тельное усиление величиной g m переведёт систему в точку [–1, j 0], поскольку (–1/ g m ) g m = –1. Аналогично вводится понятие запаса по фазе : это мини- мальная величина ϕ m , на которую нужно увеличить фазовый сдвиг в разомкнутой системе arg( G ( j ω )), чтобы суммарный фазовый сдвиг достиг 180°, то есть (7) Знак «+» перед arg( G ( j ω 1 )) стоит потому, что arg( G ( j ω 1 )) < 0. Для оценки запаса устойчивости используют также мини- мальное расстояние s m от кривой годографа до точки [–1, j 0] (рис. 13). На практике считаются приемлемыми значения g m = 2...5, ϕ m = 30…60°, s m = 0,5...0,8 [2]. Для графика на рис. 13 эти критерии имеют следующие значения: ● g m 1 = 12,1; ϕ m 1 = 15°; s m 1 = 0,303 (для случая T i = 0,01 с, T d = 0,1 с); ● g m 2 = 11,8; ϕ m 2 = 47,6°; s m 2 = 0,663 (для случая T i = 0,05 с, T d = 0,1 с); ● g m 3 = 1,5; ϕ m 3 = 35,2°; s m 3 = 0,251 (для случая T i = 0,05 с, T d = 1,1 с). Если кривая годографа пересекает действительную ось в нескольких точках, то для оценки запаса устойчивости берут ту из них, которая наиболее близка к точке [–1, j 0]. При бо- лее сложном годографе может быть использована оценка за- паса устойчивости как запас по задержке [2]. Запас по за- держке – это минимальная задержка, при добавлении кото- рой в контур он теряет устойчивость. Наиболее часто этот критерий используется для оценки запаса устойчивости сис- тем с предиктором Смита. Частотный критерий устойчивости Для графического представления передаточной функции разомкнутой системы и оценки запаса устойчивости могут быть использованы логарифмические АЧХ и ФЧХ (рис. 15). Для оценки запаса по фазе сначала с помощью АЧХ находят частоту ω 1 ( частота среза , или частота единичного усиления ), при которой G ( j ω 1 ) = 1, затем по ФЧХ находят соответствую- В З АПИС Н УЮ К НИЖК У ИНЖЕ Н Е РА п н т н р т р с к ф ч б ж ю д д г ф г м в ф к о д н т к н д г ф з в е п л ж н р д ш р т н т т к л в щ с в в н з т х щ л б н т м ф к е о д н т м т т ч в с в с м л р е с д щ р з т т ч в з н т с н х н т ч в с м к н л з н т с н в т в е к о н т м р д г ф п л н л ч н т т к н т в с в б н т т ч к з н а ц н т т м л н м д г ф м н н т к ч я т м т ч в н р т х н л б н м р х н г ц с л н т т н н н м р м р м б л к м б р т с н з т х щ л б б ш м н н р м р э м е т р в н г л т р н п ч к т ч в к п о х д м м н г ц н р в н т м а н л в я п т ч в с н в ю п с т ч с к т к т л л ч р д т н ц б з т р щ л н в л т м л б т н ж п с л н з в е с л ч н т р н н ж р д т н ц з н т г в л т т э ф ц е л н з н т т р в п н н л н л ч н р в т м к с к л г н д с н т п с з н л ч н т р н л ч з в з н т т м б м н з в т р и т м к п с т ч в с п з ю ж н н с н в д г ф к т к т ю с е л м м ч н ф к т р ю д щ ч н л в д г ф р с к е с в т н с к к к п с т ч в с р н д г ф ж п з в н к с т ч в с п д к п к н м н д к б л н т т р е т ч в б л т т р п з е с к п с т ч в с д т р т ф ч с г с л н р д т н ц з н т т м к п с т ч в с г п з в н г р м ч с к п с з ч л м щ х д т т т т з т т н н г л н т р х д о в с в 1 180 arg( ( )). m G j ° ϕ = + ω 0 1 . ( ) m g G j = ω У КНИЖК У ИНЖЕ Н Е РА Рис. 14. Переходная характеристика замкнутой системы, которая имеет годографы, показанные на рис. 13 Рис. 15. Оценка запаса по усилению и фазе для системы с годографом, показанным на рис. 13 © 2007, CTA Тел.: (495) 234 0635 Факс: (495) 232 1653 http://www.cta.ru