СТА 1/2010

100 СТА 1/2010 www.cta.ru В ЗАПИСНУЮ КНИЖК У ИНЖЕ Н Е РА енты корреляции r ij , которые можно найти следующим обра зом. Предположим, что случайная составляющая погрешнос ти измерений обусловлена смесью белого шума со спектраль ной плотностью S 0 и фликкер шума со спектральной плот ностью , где c — константа, определяемая эксперимен тально (рис. 5). Тогда спектральную плотность мощности погрешности можно выразить как (12) Найдём частоту ƒ 0 , на которой оба компонента шума оди наковы (рис. 5): откуда . При ƒ → 0 спектральная плотность мощности (12) стремит ся к бесконечности, поэтому интеграл (11) для фликкер шу ма расходится. Однако если учесть, что измерительные кана лы систем автоматизации имеют режим автокалибровки, то низкочастотные компоненты фликкер шума будут подавле ны. Это позволяет выбрать ненулевую нижнюю границу спектра фликкер шума, равную ƒ н . Если калибровка в про цессе эксплуатации прибора не выполняется, то величина ƒ н будет определяться межповерочным интервалом средства из мерений. Для получения корреляционной матрицы сначала найдём функцию автокорреляции случайной погрешности R x ( τ ), ис пользуя теорему Винера Хинчина и преобразование Фурье: (13) где τ — интервал времени между отдельными измерениями (сечениями случайного процесса). Здесь и далее мы использу ем односторонний энергетический спектр. Пределы интегри рования выбраны в предположении, что в реальных средствах измерений полоса частот погрешностей сверху ограничена верхней граничной частотой полосы пропускания измеритель ного канала ƒ в , а снизу — межкалибровочным интервалом T мк . Поэтому в спектре помехи не могут существовать компонен ты с частотой ниже ƒ н = 1/ T мк . Интегрируя (13) и используя дисперсию нормиро рованную на D ƒ автокорреляционную функцию можно запи сать в виде: (14) где Ci(·)—интегральный косинус, γ = 0,5772…— постоянная Эйлера. Графики функции r ( τ ) при типичной для измерительных мо дулей систем промышленной автоматизации граничной часто те ƒ в = 10 Гц [3], разных ƒ н = 1/ T мк (то есть разных интервалах между калибровками T мк ) и при пересечении графиков с/ ƒ и S 0 в точке ƒ 0 = 1 Гц показаны на рис. 6. Как следует из рисунка, на иболее сильная корреляция между отдельными измерениями существует при измерениях с интервалом менее 10 с. При ин тервале между калибровками более 1 мин корреляция шумовой 0 cos( ) 1 Ci( ) ln( ) , t dt t ξ − ξ = γ + ξ + ∫ ( ) ( ) в н 0 в н в н sin 2 sin 2 , 2 2 f f S f f f f ⎫ ⎡ ⎤ π τ π τ ⎪ + − ⎬ ⎢ ⎥ π τ π τ ⎪ ⎣ ⎦⎭ [ ] в н 1 ( ) Ci( ) Ci( ) f r с f f D ⎧⎪ τ = τ − τ + ⎨ ⎪⎩ ( ) в в 0 0 в н н н ln , f f f f с D S df S f f с f f ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ = + = − + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∫ в 0 н ( ) cos(2 ) , f x f c R S f df f ⎡ ⎤ τ = + π τ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ 0 0 с f S = 0 0 , с S f = ( ) 0 . с S f S f = + c f погрешности является относительно слабой; это характерно для приборов с автоматической калибровкой, которые калиб руются, например, в момент включения или перед каждым из мерением. Сильная корреляция погрешности (более 0,7) свой ственна приборам, которые калибруются только во время пери одической поверки (например, с интервалом 2 года и более). Качественное объяснение приведённых графиков состоит в следующем. С увеличением интервала между калибровками растет доля спектральной плотности мощности погрешнос ти, приходящаяся на низкочастотную часть энергетического спектра. Поэтому увеличивается вероятность того, что все из мерения, сделанные за время, которое много меньше перио да между калибровками, будут одинаково смещены в одну сторону. Предположим, что усреднение по множеству значений слу чайной величины (погрешности измерений) в сечении слу чайного процесса можно заменить усреднением по времени (то есть случайный процесс является эргодическим). Тогда в качестве коэффициентов корреляции можно использовать значения автокорреляционной функции (14) в моменты из мерений t i , t j , то есть r ij = r ƒ ( τ ij ), τ ij = t i – t j . Поскольку автокор реляционная функция зависит только от интервала между моментами измерений, то при одинаковых интервалах двой ную сумму в (7) можно записать в виде: где k — порядковый номер измерения; T — интервал времени между соседними измерениями. Поэтому выражение (7) можно записать в виде: (15) Для практических оценок эту формулу можно ещё более упростить. Как следует из рис. 6, при больших значениях авто корреляционной функции и малом количестве отсчётов мож но принять r ( τ ) = r 0 ≈ const. Например, при интервале между измерениями 20 с и количестве измерений 10 коэффициент корреляции для верхней кривой на рис. 6 изменяется менее чем на 5%. Для этих случаев выражение (15) упрощается: (16) На рис. 7 показан график, построенный в соответствии с формулой (16). 1 ( 1). x y o r N N σ σ = + − 1 2 1 1 2 ( ) ( ). N y x k N k r Tk N N − = σ = σ + − ∑ 1 21 31 1 2 1 ( 1) ( 2) ... (1) ( ) ( ), N N ij N i j i k r N r N r r N k r Tk − = < = = − + − + + = − ∑∑ ∑ Рис. 6. Нормированная функция автокорреляции для погрешности, обусловленной белым шумом и фликкер шумом, при разных значениях интервала между калибровками T мк τ r ( τ) 0 20 40 60 80 – 0 2, 0 0 2, 0 4, 0 6, 0 8, 5 лет 2 года 1 день 1000 c 100 с 10 с 1 с © СТА-ПРЕСС