СТА 1/2010

99 СТА 1/2010 www.cta.ru В ЗАПИСНУЮ КНИЖК У ИНЖЕ Н Е РА 0, τ , 2 τ , ... . Поэтому результат усреднения измерений, вы полненных за время T = ( N –1) τ, можно записать в виде: где t — момент времени выполнения измерений. Функцию x ср ( t ) можно описать с помощью спектральной плотности мощности, для чего сначала найдём её Фурье изображение: где сначала использована замена переменной t = ξ + k τ , затем введено обозначение Фурье изображения рассматриваемой случайной погрешности x ( t ). Полученное выражение можно записать в виде: (8) где (9) Таким образом, процесс усреднения можно рассматривать как прохождение случайного процесса через усредняющий фильтр с передаточной характеристикой (9). Поскольку вследствие симметрии Фурье изображений в (8) относитель но оси ординат X ср (– j ω ) = W (– j ω ) X (– j ω ), то, умножая левую и правую часть этого выражения на соответствующие части из выражения (8), получим: откуда Пользуясь определением спектральной плотности мощ ности, из последнего выражения получим: где S( ω ) и S ср ( ω ) — спектральные плотности мощности слу чайной составляющей погрешности до процесса усреднения и после. Рассмотрим передаточную функцию усредняющего фильт ра (9). Используя формулу суммы членов геометрической прогрессии её можно записать в виде: ( ) 1 1 1 2 2 1 1 0 2 2 1 1 1 1 1 1 1 j N j N N j N j k j j j k e e e W j e N N N e e e − ω τ − ω τ − − ω τ − ω τ − ωτ − ωτ − ωτ = − − ω = = = = − − ∑ 1 , 1 N N k n n k q q q q + = − = − ∑ ( ) ( ) ( ) 2 ср , S W j S ω = ω ω ( ) ( ) ( ) 2 2 2 cp . X j W j X j ω = ω ω ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cp cp , X j X j W j W j X j X j ω − ω = ω − ω ω − ω ( ) 1 0 1 . N j k k W j e N − − ω τ = ω = ∑ ( ) ( ) ( ) cp , X j W j X j ω = ω ω ( ) ( ) j X j x e d ∞ − ωξ −∞ ω = ξ ξ ∫ ( ) ( ) 1 1 0 0 1 0 1 1 ( ) 1 , N N j j k j k k k N j k k x e d e X j e N N X j e N ∞ − − − ωξ − ω τ − ω τ = = −∞ − − ω τ = ⎛ ⎞ = ξ ξ = ω = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ω ∑ ∑ ∫ ∑ 1 1 0 0 1 1 ( ) ( ) N N j t j j k k k x t k e dt x e e d N N ∞ ∞ − − − ω − ωξ − ω τ = = −∞ −∞ = − τ = ξ ξ = ∑ ∑ ∫ ∫ ( ) ( ) 1 cp ср 0 1 ( ) N j t j t k X j x t e dt x t k e dt N ∞ ∞ − − ω − ω = −∞ −∞ ω = = − τ = ∑ ∫ ∫ 1 cp 0 1 ( ) ( ), N k x t x t k N − = = − τ ∑ Пользуясь соотношением [exp( jx ) – exp(– jx )]/2 j = sin( x ), окончательно получим: (10) Выражение (10) является передаточной функцией цифро вого sinc фильтра [3] (список литературы в первой части статьи), то есть усреднение измерений, полученных в N точ ках, отстоящих друг от друга на τ , эквивалентно цифровой фильтрации в прямоугольном окне шириной N τ . В результате фильтрации ослабляются спектральные составляющие по грешности измерений, расположенные выше граничной час тоты фильтра. Дисперсию погрешности измерений можно найти, интег рируя спектральную плотность мощности погрешности по всей полосе частот, от 0 до ∞ : (11) Это выражение справедливо для погрешности с любой спектральной плотностью. Предположим сначала, что по грешность является белым шумом , то есть S( ω )=S 0 =const. Тог да, подставляя (10) в (11), получим где ƒ д = 1/ τ — частота дискретизации (то есть измерений), откуда Это выражение совпадает с ранее полученным выражением (3), поскольку использовано предположение о преобладании белого шума. Таким образом, усреднение N однократных из мерений, выполненных в N временных точках, отстоящих друг от друга на τ , при белом шуме уменьшает погрешность в раз. В случае коррелированных измерений (цветного шума) не обходимо использовать формулу (7). В неё входят коэффици N x ср . N σ σ = ( ) 2 2 2 0 д 2 ср 0 0 0 0 sin 2 2 , x S f fN C S df S df f fN N N ∞ ∞ ⎡ ⎤ π τ σ ⎡ ⎤ σ = ≈ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ π τ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ср ср 0 2 0 1 1 2 2 2 2 . S d W S d W f S f df ∞ ∞ −∞ ∞ σ = ω ω = ω ω ω = π π = ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 1 1 2 1 sin 2 . 1 sin 2 j N N W j e N − ω − τ ⎛ ⎞ ω τ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ω = ⎛ ⎞ωτ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Рис. 5. Спектральная плотность мощности погрешности измерений в виде смеси белого и фликкер шума . © СТА-ПРЕСС