ЖУРНАЛ СТА 2/2011

94 СТА 2/2011 www.cta.ru тельно входного. Таким образом, погрешность измеритель ного канала в данном случае состоит из двух компонентов (рис. 2): погрешности амплитуды (2) и погрешности фазы (3) Наиболее простые соотношения для оценки указанных погрешностей получаются для случая, когда динамику изме рительного канала можно представить моделью первого по рядка (фильтром первого порядка): (4) где ω 0,7 – граничная частота по уровню Для неё АЧХ и ФЧХ имеют вид: Поскольку погрешность средств измерений в системах автома тизации, как правило, не превышает 1%, в приведённых соот ношениях можно считать ω / ω 0,7 << 1, что позволяет разложить нелинейные функции в ряд Тейлора и ограничиться первыми двумя членами разложения. При этих условиях получим: (5) Например, если модуль ввода имеет граничную частоту ω 0,7 = =5 Гц, то для того чтобы динамическая погрешность не пре вышала 0,05%, частота входного сигнала должна составлять не более , или 3,2% от граничной частоты ω 0,7 , то есть не более 0,16 Гц. Отметим, что оценки (5) относятся только к погрешности амплитуды и фазы синусоидального сигнала, но не к погреш ности отдельных его отсчётов. Наибольшая погрешность изме рения входного сигнала как функции времени будет при ω t= = 0, π , 2 π , … Её величину можно оценить следующим образом: (6) где T = 2 π / ω 0,7 – постоянная времени фильтра, τ = 2 π / ω – период измеряемого сигнала. Относительная погрешность будет равна: (7) Таким образом, для получения динамической погрешнос ти величиной 0,1% при измерении отсчётов синусоидально го сигнала в моменты времени ω t = 0, π , 2 π , … частота вход ного сигнала должна быть в 1000 раз ниже граничной часто ты фильтра. Отметим, что погрешность амплитуды, изме ренная в моменты времени ω t = π /2, 3 π /2, …, уменьшается в зависимости от частоты по квадратичному закону (5), в то время как погрешность в моменты времени ω t = 0, π , 2 π , … – только линейно (7). И ЗМЕРЕНИЕ ПРИ ВХОДНОМ СИГНАЛЕ « ЕДИНИЧНЫЙ СКАЧОК » Если входной сигнал изменяется скачком, то для измери тельного канала, который описывается моделью первого по рядка (4) и не содержит коммутатора, реакцию на скачок можно получить с помощью преобразования Лапласа. Для этого в выражении (4) можно вместо j ω использовать комп лексную частоту p [3] и умножить (4) на изображение еди ничного скачка 1/ p (по Лапласу). Переходя от изображения к оригиналу с помощью обратного преобразования Лапласа, получим сигнал на выходе измерительного канала как функ цию времени: y ( t ) = y 0 (1 – e – t / τ ), (8) где τ = 1/ ω 0,7 , y 0 – значение y ( t ) при t = ∞ . Поскольку точное значение единичного скачка y ( ∞ ) = y 0 = =1, погрешность измерений Δ y ( t ) = y 0 – y ( t ) с течением вре мени будет уменьшаться по экспоненциальному закону: , откуда (9) Например, для получения относительной динамической погрешности 1% измерение нужно делать не раньше чем че рез t = 4,6 τ после подачи измеряемого сигнала. Для получе ния погрешности 0,05% задержка перед измерением должна быть не менее 7,6 τ . И ЗМЕРЕНИЕ СИГНАЛА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ Когда измеряемый сигнал имеет произвольную форму x ( t ), выражение для y ( t ) в общем случае имеет вид свёртки вход ного сигнала и импульсной характеристики измерительного канала h δ ( t ) [4]: (10) где ξ – переменная интегрирования. Импульсная характеристика h δ ( t ) является реакцией изме рительного канала на входной сигнал в форме дельта функ ции Дирака δ ( t ). Вместо импульсной характеристики можно использовать реакцию на единичный скачок h 1 ( t ), при этом выражение для y ( t ) запишется в виде интеграла Дюамеля [4]: (11) К сожалению, более простого выражения не существует, и интегралы (10) и (11) нужно брать для каждой конкретной формы входного сигнала x ( t ). Сделать это аналитически, как правило, невозможно. Наиболее удобным способом являет ся численное интегрирование или моделирование, напри мер, с помощью программ Matlab, MathCAD. В ЗАПИСНУЮ КНИЖК У ИНЖЕ Н Е РА y ( t ) Время 0 0 0,5 0,5 1,5 –0,5 1 1 2 –1 x ( t ) Δ A Δϕ ω Рис. 2. Синусоидальный сигнал на входе ( x ( t )) и выходе ( y ( t )) измерительного канала ( ) 1 ( ) A A W A W A A − ω Δ = = − ω ( ) ( ) Im ( ) arctg . Re ( ) W W ⎛ ⎞ω Δϕ = − ⎜ ⎟ω ⎝ ⎠ 0,7 1 ( ) , 1 W j j ω = + ω ω 1 2 0,707. = ( ) 2 0,7 1 ( ) , 1 W ω = + ω ω 0,7 ( ) arctg . ⎛ ⎞ω ϕ ω = − ⎜ ⎟ ω⎝ ⎠ 2 0,7 1 1 ( ) , 2 A W A ⎛ ⎞ Δ ω = − ω = ⎜ ⎟ ω⎝ ⎠ 0,7 . ω Δϕ = − ω 0,05% 2 0,032 ⋅ = (0) (0) (0) sin( ) 0 sin( ) y y x A A Δ = − = ϕ − = Δϕ = 0,7 0,7 sin , T A A A ⎛ ⎞ω ω = − ≈ − = − ⎜ ⎟ ω ω τ ⎝ ⎠ 0,7 (0) (0) . (0) y y T x A Δ Δ ω = = − = − τ ω / 0 ( ) t y t y e − τ Δ = 0 ( ) ln . y t t y ⎛ ⎞ Δ = −τ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 ( ) ( ) ( ) , t y t x h t d δ = ξ − ξ ξ ∫ 1 1 0 ( ) ( ) (0) ( ) ( ) . t dx y t x h t h t d d ξ = + − ξ ξ ξ ∫ © СТА-ПРЕСС