ЖУРНАЛ СТА 2/2011

Однако для многоканальной системы сбора данных с од ним АЦП и коммутацией входных каналов (рис. 1) получить приближённое выражение для динамической погрешности в общем случае, независимо от формы сигнала на входе систе мы, возможно. Для этого воспользуемся тем, что отсчёты входного сигнала в системах сбора данных обычно берутся так часто, что при разложении функции x ( t ) в ряд Тейлора на интервале между отсчётами можно ограничиться линейным членом разложения. Иначе говоря, при произвольной форме входного сигнала и достаточно высокой частоте дискретиза ции функцию x ( t ) можно аппроксимировать прямой линией на участке (рис. 3), где t 0 – момент замыкания клю ча входного коммутатора; t 1 – момент появления сигнала на выходе модуля ввода: (12) Максимальную погрешность такой аппроксимации можно оценить по величине третьего члена ряда Тейлора: (13) где точка ξ выбирается на интервале таким образом, чтобы величина второй производной в ней была наиболь шей. В частности, если входной сигнал описывается линей ной зависимостью, то для него для всех то чек интервала . Итак, сигнал после коммутатора, перед антиалиасным фильт ром, имеет форму трапеции на интервалe (рис. 3). На чальные условия для фильтра после каждого переключения входного коммутатора являются приближённо нулевыми, поскольку постоянная времени фильтра много мень ше интервала между отсчётами t 1 – t 0 . Рассмотрим сначала случай с фильтром первого порядка, ког да передаточная функция W ( s ) описывается выражением (4). Импульсную характеристику фильтра можно получить с по мощью обратного преобразования Лапласа от выражения (4), в котором переменная j ω заменена на комплексную частоту p : (14) Подставляя (14) и (12) в (10), получим выражение для функции y ( t ) на интервале : (15) Вычитая из полученного выражения сигнал на входе x ( t ) (12), получим величину абсолютной погрешности Δ y ( t ) в виде: (16) Таким образом, при достаточно большом t (точнее, при t →∞ ) абсолютная динамическая погрешность не приближается к ну лю, а остаётся постоянной, равной При ма лых t , на начальном участке переходного процесса, погреш ность экспоненциально уменьшается с течением времени. Пользуясь (16), можно записать выражение для приведён ной погрешности: (17) где x max – верхняя граница диапазона измерений; Используя это обозначение τ в выражении (12), получим: (18) Из этой формулы виден физический смысл параметра τ – это время, за которое входной сигнал проходит интервал от x ( t ) = 0 до x ( t ) = x max при условии, что он сохранит линей ность на этом интервале. Отметим, что при t → ∞ выражение (17) совпадает с (7), а при τ → ∞ – с (9). Графики зависимости модуля динамической погрешности от времени, построенные по выражению (17) при x 0 / x max = = 0,5, показаны на рис. 4. Например, если постоянная вре мени фильтра первого порядка T равна 1 с, то для того чтобы динамическая погрешность не превышала 0,1%, отношение T / τ должно быть не более 0,001 (рис. 4), откуда τ > 1000 T , то есть скорость нарастания входного сигнала должна быть такой, чтобы интервал от x ( t ) = 0 до x max был пройден за 95 СТА 2/2011 www.cta.ru В ЗАПИСНУЮ КНИЖК У ИНЖЕ Н Е РА 0 1 , t t t ∈⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 1 0 0 1 1 0 ( ) (0) , , . x x x t x t t t t t t − = + ∈⎡ ⎤ ⎣ ⎦ − t x 0 x 1 x ( t ) y ( t ) Δ y t 0 t 1 Рис. 3. Сигнал после коммутатора ( x ( t )) и на выходе модуля ввода ( y ( t )) 2 2 2 ( ) ( ) , t d x t x dt =ξ ξ 0 1 , t t t ∈⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 2 2 ( ) ( ) 0 x d x t x dt =ξ ξ = 0 1 , t t t ∈⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 0 1 , t t t ∈⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 0,7 2 T π = ω ( ) 1 exp . t h t T T δ ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 1 , t t t ∈⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 1 0 1 0 0 1 ( ) (0) exp t x x t y t x d t t T T ⎛ ⎞ − − ξ ⎛ ⎞ = + ξ − ξ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎝ ⎠ ∫ 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 exp . x x x x x x t x T T x t t t T t t t t ⎛ ⎞ − − − ⎛ ⎞ = − + − − + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − − ⎝ ⎠ 1 0 1 0 0 1 0 1 0 ( ) exp . x x x x t y t x T T t t T t t ⎛ ⎞ − − ⎛ ⎞ Δ = − + − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − ⎝ ⎠ 1 0 1 0 ( ) . x x y T t t − Δ ∞ = − 0 max max ( ) exp , x y t T t T x x T ⎛ ⎞ Δ ⎛ ⎞ = − + − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ τ τ ⎝ ⎠ ( ) max 1 0 1 0 . x t t x x τ = − − max ( ) (0) . x x t x t = + τ Рис. 4. Зависимость модуля динамической погрешности от времени при x 0 / x max = 0,5 и T = 0,1 с для модуля ввода с фильтром первого порядка Динамическая погрешность Т τ = 0,01 Т τ = 0,0001 Т τ = 0,001 0 ,5 0 1 1,5 2 Время, с 0,01% 0,1% 1% 10% © СТА-ПРЕСС