ЖУРНАЛ СТА 2/2011

96 СТА 2/2011 www.cta.ru время не менее 1000 T = 1000 с. Если уравнение (18) норми ровать по x max , чтобы перейти к относительным величинам (19) то можно сказать, что скорость нарастания входного сигнала должна быть не более 0,001 с –1 , или 0,1%/с. Аналогичное соотношение можно получить для фильтра второго порядка с передаточной функцией Выражение для приведённой погрешности будет иметь вид: (20) При t → ∞ , как и в системе первого порядка, погрешность стремится к постоянной величине. Можно показать, что для фильтра N го порядка, описы ваемого полиномом вида погрешность стре мится к величине при t → ∞ . Таким образом, для многоканальной системы сбора дан ных с одним АЦП и коммутацией входных каналов (рис. 1) динамическая погрешность измерений не зависит от формы измеряемого сигнала и её величину можно оценить по графи ку на рис. 4 или по формуле (17). S INC ФИЛЬТР В ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ МОДУЛЯХ ВВОДА В системах автоматизации обычно используют режектор ные фильтры для ослабления помехи с частотой 50 Гц, про никающей из сети питания. Такой фильтр, как правило, вхо дит в состав микросхемы АЦП, из чего следует требование к простоте его реализации. Наиболее популярным для этих це лей оказался sinc фильтр (sinc, sinc 2 , sinc 3 , sinc 4 ) [5, 6]. Структура цифрового sinc фильтра представлена на рис. 5. Он состоит из двух каскадов: первый каскад – до ключа R , второй – после. На вход фильтра поступают отсчёты сигнала x ( k ) с частотой дискретизации ƒ д . Блок z –1 выполняет задерж ку на один такт отсчётов, поступающих на его вход. Блок z – M выполняет задержку на M = 1 или M = 2 (тактов). Ключ R пропускает только каждый R й отсчёт, поэтому частота сле дования отсчётов после него и на выходе фильтра составляет ƒ д / R , то есть такой фильтр выполняет также функцию про реживания (децимации) отсчётов. Первый каскад фильтра выполняет суммирование входных отсчётов, второй каскад выполняет функцию вычитания из поступившей на его вход суммы предыдущей суммы отсчё тов (суммы, полученной на предыдущем такте ƒ д / R ), то есть выбирает суммы из R слагаемых. Таким образом, фильтр в целом выполняет операцию нахождения среднего арифме тического в окне шириной R отсчётов, точнее, как будет по казано далее, в окне шириной RM . Непосредственно по рис. 5 можно записать передаточную функцию одного звена с блоком задержки z –1 : (21) Аналогично для одного звена с блоком z – M передаточная функция будет иметь вид: H C ( z ) = 1 – z – RM . (22) Здесь в показателе степени стоит произведение RM , по скольку вследствие прореживания отсчётов ключом R за держка отсчётов относительно k выполняется на RM тактов. Поскольку в фильтре использовано N блоков до ключа и N блоков после, выражение для передаточной функции всего фильтра можно записать в виде произведения H I ( z ) H C ( z ) в степени N : (23) Здесь в знаменателе использован нормирующий множи тель RM , чтобы коэффициент передачи фильтра на нулевой частоте был равен единице; (24) Для перехода к сумме в (24) использована формула суммы членов геометрической прогрессии: По правилам преобразования Фурье задержке оригинала на один такт 1/ ƒ д соответствует оператор сдвига z –1 = e – j ω / ƒ д . Подставляя это значение в (24), получим Фурье изображе ние передаточной функции sinc фильтра в виде: (25) Выполнив ряд преобразований (подробнее см. в [1]), полу чим выражение для передаточной функции sinc фильтра в виде: (26) Для упрощения аналитических выкладок передаточную функцию sinc фильтра упрощают путём разложения знаме нателя в (26) в ряд Тейлора с отбрасыванием всех членов, кроме первого: (27) В ЗАПИСНУЮ КНИЖК У ИНЖЕ Н Е РА max , x x x =  1 ( ) (0) , x t x t = + τ   1 τ 1 2 1 ( ) . (1 )(1 ) W s sT sT = + + ( ) ( ) 2 0 max 1 1 max 1 2 1 2 0 max 2 2 1 2 1 2 2 ( ) ( ) exp ( ) exp . x x T T y t t x T T T x x T T T T t T T T ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − τ + Δ = − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ τ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ τ − + + − − ⎜ ⎟ τ − τ ⎝ ⎠ ( ) 1 1 ( ) , 1 n i i W s sT = = + ∏ 1 n i i T = − τ ∑ y ( k/R ) + x ( k ) z –1 + + 1 N + + + N +1 N +2 2 N ƒ д – – – R ƒ д / R z –1 z –1 z –M z –M z –M 2 Рис. 5. Структура sinc фильтра 1 1 ( ) . 1 I H z z − = − sinс 1 1 1 ( ) ( ) . 1 N RM N z H z H z RM z − − ⎛ ⎞ − = = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ( ) 1 1 sinc 1 0 1 1 1 ( ) . 1 RM RM k k z H z z RM RM z − − − − = − = = − ∑ 1 . 1 N N k n n k q q q q + = − = − ∑ д д 1 1 ( ) . 1 j RM f j f e W j RM e − ω − ω − ω = − ( ) 1 д д sinc д sin ( ) . sin f RM j f fRM f W j e f RM f π − − ⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ω = ⎛ ⎞π ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) 1 д д д sin ( ) . f RM j f fRM f W j e f RM f π − − ⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ω = π © СТА-ПРЕСС