ЖУРНАЛ СТА 1/2012

94 СТА 1/2012 www.cta.ru В ЗАПИСНУЮ КНИЖК У ИНЖЕ Н Е РА . (11) В наиболее типичном случае симметричных границ (– Δ 0 < Δ < Δ 0 ) получим . (12) Здесь использовано свойство симметрии функции распре- деления для закона Гаусса. Таким образом, если задан интервал – Δ 0 < Δ < Δ 0 , который содержит в себе погрешность измеряемого параметра Δ , то вероятность того, что погрешность Δ не выходит за границы интервала, можно найти по формуле (12) для нормального закона распределения. Вероятность P (– Δ 0 < Δ < Δ 0 ) называ- ют также надёжностью оценки погрешности и обозначают символом γ : . (13) Для вычисления функции распределения удобно исполь- зовать пакеты Mathcad, MATLAB. С их помощью из форму- лы (13) несложно найти величину доверительного интервала [– Δ 0 , + Δ 0 ], если задана величина надёжности γ . Для Δ 0 = σ доверительная вероятность равна γ = 68,3%, для Δ 0 = 2 σ она уже равна γ = 95,3%, для Δ 0 = 3 σ составляет γ = = 99,7% и для Δ 0 = 4 σ достигает γ = 99,994%. Для увеличения надёжности оценки погрешности измере- ний или для сужения доверительного интервала при задан- ной надёжности можно использовать усреднение результа- тов многократных измерений. Поскольку оценка средне- квадратической погрешности результата усреднения σ ср рав- на [1], где σ x – среднеквадратическая погрешность средства измерений, N – количество однократных измерений, то, подставив в (13) вместо σ величину σ ср , получим . (14) Эта формула позволяет найти количество однократных из- мерений N , которое необходимо усреднить для получения требуемого доверительного интервала [– Δ 0 , + Δ 0 ] при задан- ной надёжности γ или требуемой надёжности γ при заданном доверительном интервале [– Δ 0 , + Δ 0 ]. Поскольку формула (14) задана в неявном виде, для нахождения требуемых неиз- вестных следует воспользоваться математическими пакета- ми для компьютерных вычислений. Следует иметь в виду, что повышение точности путём ус- реднения результатов многократных измерений имеет мно- жество ограничений [1]. P p x dx Δ Δ Δ Φ Δ Φ Δ Δ Δ 1 1 2 < < ( ) = = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∫ 2 2 1 ( ) σ σ σ σ cp x N = P − < < ( ) = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − −⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − Δ Δ Δ Φ Δ Φ Δ Φ Δ 0 2 1 0 0 0 0 σ σ σ γ σ = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − 2 1 Φ Δ 0 Проблемой использования интервального метода оценки погрешности является необходимость знания закона распре- деления погрешностей. Отметим, что доверительные интервалы, полученные из рассеяния множества измерений, никак не учитывают систе- матическую погрешность измерений. Интересные примеры из истории определения расстояния до Солнца, заряда электрона и др. приводятся в книге [5]. Ученые, которые де- лали эти выдающиеся измерения, указывали доверительные вероятности для оценки точности своих измерений. Однако ни одна из этих оценок не выдержала испытания временем: каждое новое, более точное измерение не укладывается в предсказанный ранее доверительный интервал. Это связано с тем, что систематическую погрешность или наличие ошиб- ки в постановке эксперимента, в учёте факторов, о сущест- вовании которых мы не знаем, оценить невозможно, не имея более точного измерительного прибора. П ОГРЕШНОСТЬ МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ Для выполнения автоматизированных измерений исполь- зуют датчики и измерительные преобразователи, измери- тельные модули ввода аналоговых сигналов, обработку ре- зультатов измерений на компьютере или в контроллере. При этом на погрешность результата измерений оказывают влия- ние следующие факторы: ● сопротивление кабелей; ● соотношение между входным импедансом средства изме- рений и выходным импедансом датчика; ● качество экранирования и заземления, мощность источ- ников помех; ● погрешность метода косвенных, совместных или совокуп- ных измерений; ● наличие внешних влияющих факторов, если они не учте- ны в дополнительной погрешности средства измерений; ● погрешность обработки результатов измерений программ- ным обеспечением. Все погрешности, которые не могут быть учтены в процес- се сертификационных испытаний и внесены в паспорт сред- ства измерений, а появляются в конкретных условиях при- менения, относятся к методическим. В отличие от них, инструментальные погрешности нормируются в процессе производства измерительного прибора и заносятся в его эксплуатационную документацию. Таким образом, если в состав смонтированной автоматизированной измерительной системы входят средства измерений с нормированными погрешностями, то погрешность, вызванная ранее перечис- ленными факторами, является методической. Если же вы- полняется сертификация всей измерительной системы, то методические погрешности могут быть учтены в погрешнос- ти всей системы, и тогда они переходят в разряд инструмен- тальных. Для расчёта или измерения методической погрешности трудно дать общие рекомендации. Каждый конкретный слу- чай требует отдельного рассмотрения. П ОГРЕШНОСТЬ ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ Погрешность программного обеспечения (ПО) [6, 7] оце- нивается как разность между результатами измерений, полу- ченными данным ПО и эталонным ПО. Под эталонным по- нимается программное обеспечение, высокая точность кото- рого доказана многократными испытаниями и тестировани- ем. Понятие эталонного ПО является условным и определя- –3 σ –2 σ –1 σ 0 1 σ Погрешность Δ 2 σ 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 p ( Δ ), Φ ( Δ ) p ( Δ ) Φ ( Δ ) p (–2 σ < Δ <2 σ ) Рис. 2. Иллюстрация понятий доверительного интервала и доверительной вероятности © СТА-ПРЕСС