ЖУРНАЛ СТА 1/2012

93 СТА 1/2012 www.cta.ru В ЗАПИСНУЮ КНИЖК У ИНЖЕ Н Е РА Когда случайные величины независимы, их коэффициент корреляции равен нулю ( R xy = 0), и такие величины называются некоррелирован- ными. Если коэффициент корреляции равен единице ( R xy = 1), то между величинами X и Y имеется не статистическая, а функциональная зависимость. Используя понятие среднеквадратического отклонения , уравнение (1) можно записать в виде: . (5) Здесь знак минус используется, когда случай- ные величины вычитаются, например, если на- ходится разность напряжений двух измеритель- ных каналов. При этом наличие корреляции между каналами частично уменьшает погрешность разности. В случае когда случайные величины статистически незави- симы ( R xy = 0), выражение (5) упрощается: . (6) Такое суммирование называют геометрическим, поскольку оно выполняется аналогично нахождению гипотенузы пря- моугольного треугольника. Если коэффициент корреляции R xy = +1, то . (7) Если коэффициент корреляции равен R xy = –1, то , (8) это означает, что при нахождении суммы случайных величин отрицательный коэффициент корреляции уменьшает итого- вую погрешность, а при нахождении разности – увеличивает. Если случайные величины не центрированы и имеют мате- матические ожидания m x и m y , то коэффициент корреляции можно оценить как . (9) На рис. 1 показаны примеры статистической зависимости между случайными величинами при сильной ( а ) и слабой ( б ) корреляции. Точки на графике (значения случайной величи- ны) могут группироваться очень близко к прямой линии, ко- торая аппроксимирует эту зависимость, и тогда статистиче- ская зависимость приближается к детерминированной. Сте- пень отличия статистической зависимости от детерминиро- ванной характеризуют коэффициентом корреляции R xy . Прямая линия, проведённая таким образом, что сумма квадратов отклонений значений случайной величины от этой линии минимальна, называется линией среднеквадра- тической регрессии. Тангенс угла наклона этой линии назы- вается коэффициентом регрессии. Уравнение линии регрес- сии можно получить методом наименьших квадратов; оно имеет вид [1]: y = A ( x – m x ) + m y , где A – коэффициент регрессии. Коэффициент регрессии вычисляется через коэффициент корреляции R xy и средне- квадратические отклонения σ y и σ x как . (10) Коэффициент корреляции приобретает ясный физический смысл, если статистические переменные центрировать (вы- A R xy y x = ⋅ σ σ σ σ σ σ σ X Y R x y xy x y ± [ ] = + ± 2 2 2 R N x m y m xy x y i x j N i N j y = − ( )( ) − = = ∑∑ 1 1 1 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ X Y x y x y x y x y ± [ ] = + = ( ) = 2 2 2 2 ∓ ∓ ∓ σ σ σ σ σ σ σ σ σ X Y x y x y x y x y ± [ ] = + ± = ± ( ) = ± 2 2 2 2 σ σ σ X Y x y ± [ ] = + 2 2 σ x D X = [ ] честь математическое ожидание) и нормировать на величину среднеквадратического отклонения. Поскольку среднеквад- ратические отклонения нормированных величин равны еди- нице, то коэффициент корреляции (9) становится равен тан- генсу наклона линии среднеквадратической регрессии. Статистическая зависимость между погрешностями средств измерений в общем случае нелинейная, однако этой нелинейностью обычно пренебрегают. Т ОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ Погрешности средств измерений и измерительных кана- лов средств автоматизации могут быть выражены двумя раз- личными способами: с помощью точечных оценок и с по- мощью интервальных. К точечным оценкам относятся мате- матическое ожидание погрешности и среднеквадратическое отклонение. В качестве интервальной оценки используют интервал погрешности, который охватывает все возможные значения погрешности измерений с вероятностью P . Она на- зывается доверительной вероятностью, или надёжностью оценки погрешности. Предел допускаемой погрешности можно рассматривать как точечную оценку или как интервальную для доверитель- ной вероятности, равной единице. Интервальная оценка является более гибкой, поскольку она позволяет указать погрешность измерений в зависимо- сти от того, какая требуется вероятность реализации этой погрешности для конкретных условий эксплуатации сред- ства измерений. Смысл интервальной оценки погрешности иллюстрирует рис. 2. Здесь использованы следующие обозначения: Δ – по- грешность измерения; р ( Δ ) – плотность распределения по- грешностей; Φ ( Δ ) – функция распределения погрешностей, . Для нормального закона распределения погрешностей (за- кона Гаусса) плотность распределения центрированной слу- чайной величины Δ описывается функцией , где σ – среднеквадратическая погрешность. Если погрешность измерения Δ находится внутри интерва- ла Δ 1 < Δ < Δ 2 , то вероятность этого события вычисляется как p Δ Δ Δ ( ) = = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1 2 1 2 2 2 σ π σ π σ σ e e 2 2 1 2 Φ Δ Δ ( ) ( ) = −∞ ∫ p x dx 0,46 0,50 0,54 0,58 0,16 0,18 0,20 0,22 X Y X 0,44 0,24 0,28 0,32 0,36 0,48 0,52 0,56 0,60 Y а б Рис. 1. Примеры сильной ( а ) и слабой ( б ) корреляции случайных величин X и Y ( R xy = 0,954 и R xy = –0,045 соответственно); также показана прямая линия среднеквадратической регрессии © СТА-ПРЕСС