СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА 2011-9

циклов при нулевом входе. Фактичес кую максимальную амплитуду мож но определить путём прямого мо делирования, применив алгоритм исчерпывающего поиска [9] для воз можных значений двух переменных ( y n – 1 , y n – 2 ) фильтра, показанного на рисунке 1. Для экономии времени поиска, в случае комплексно сопряжённых полюсов фильтра, диапазон измене ния этих переменных лучше ограни чить сверху границей (5), а не завы шенной оценкой [4], как в [9]. При этом, если в процессе работы алго ритма текущее значение амплитуды обнаруженного предельного цикла оказывается равным абсолютной верхней границе , поиск заканчивается, поскольку эта вели чина не может быть превышена. Здесь и далее ] x [ означает целую часть x . Некоторые сравнения и замечания Интересно сопоставить фактичес кую максимальную амплитуду пре дельных циклов с её границами (5) и (6), с двумя её упрощенными оценками (частные случаи (5) и (6)), а также с уровнями шума округления (1) и (2). Удобно сравнивать нормированные уровни ошибки округления (ампли туды предельного цикла или мощнос ти шума округления), выраженные в децибелах. Так, нормированные уров ни для выражений (2) и (6) при зна ке равенства в (6) соответствуют и . Поэтому, выраженные в децибелах, они идентичны. Нормированным уровням для (1) и (5) при знаке равен ства в (5) соответствуют (это отношение часто называют уси лением шума) и . Под нормированными упрощёнными оценками будемпонимать A max /(0,5 q ) = = 1/(1 – | a 2 |) и A max /(0,5 q ) = 1/(1 – | a 1 | + + a 2 ), которые соответствуют выраже ниям в скобках (3) и (4) и, как было от мечено, являются частными случаями норм , . На рисунках 2a, 2б представлены за висимости нормированного уровня ошибки округления на выходе фильт ра (см. рис. 1) от полюсного угла 5 ° ≤ θ ≤ 90 ° для двух значений полюсно го радиуса r = 0,9 и r = 0,99. Параметры и соот ветствуют комплексно сопряжённым полюсамфильтра. Оценка уровня 1/(1– – | a 2 |) не зависит от θ и на рисунке не показана. Для r = 0,9 и r = 0,99 её значе ния, выраженные в децибелах, равны 14,4 и 34 дБ соответственно. Кривые, соответствующие аналити ческим оценкам уровня ошибки на рисунке 2, имеют регулярный харак тер, а точки, полученные с помощь алгоритма исчерпывающего поиска, располагаются хаотично, за исключе нием зоны малых углов. В этой зоне, ограниченной справа окрестностью точки пересечения двух нижних кри вых, результаты поиска достаточно хорошо совпадают с оценкой 1/(1 – – | a 1 | + a 2 ). В точке пересечения имеет место равенство или – с учётом (1) – равенство | a 1 | = = a 2 (1 + a 2 ). Фактическая максимальная ампли туда предельных циклов может быть меньше уровня шума округления (см. рис. 2a), или доходить до абсолютной верхней границы, или быть ниже её на 21 дБ (при θ = 10 ° на рис. 2б). По следнее оправдывает нахождение фак тической максимальной амплитуды, а не использование верхних границ (выражения (5) и (6) при знаке равен ства в них). Следует отметить, что при требо вании контролировать максимум спектральной плотности мощности шума округления (2), а не его дис персию (1), можно обходиться без нахождения фактической макси мальной амплитуды, довольствуясь абсолютной верхней границей (5), если важно знать максимально воз можный уровень предельных цик лов, или оценкой (2), если в этом нет необходимости. Это обусловлено близостью и . Максимальное различие между границами не пре вышает 2,1 дБ (см. рис. 2). Дополни тельные расчёты показывают, что это различие сохраняется для доста точно плотной сетки точек области треугольника устойчивости, соотве тствующей комплексно сопряжён ным полюсам фильтра. Данный факт можно использовать для приближённого вычисления . Интересно сравнить эту оценку с полученной в работе [6] для разных областей треугольника устойчивости. Так, например, для a 2 = = 0,99 и 0,2 ≤ | a 1 | ≤ 1,8 пришаге 0,2 пред лагаемая нами и в [6] оценки дают ошибки не более 0,05 дБ и 3,1 дБ со ответственно. Дальнейшее изучение этого вопроса выходит за рамки дан ной статьи. Ещё одно наблюдение связанно с областью перебора переменных в алгоритме исчерпывающего поиска, ограниченной абсолютной верхней границей. Для фильтров с полюсным радиусом r , близким к 1, особенно при угле θ , близким к 0 или π , эта гра ница очень высока, поэтому велико число вариантов перебора и время выполнения алгоритма. Эксперимен ты показывают, что фактическая мак симальная амплитуда предельных циклов может быть найдена для очень малой области перебора. Так, для r = 0,99 и θ = 5 ° , 10 ° , 15 ° и 20 ° (см. рис. 2б) абсолютные верхние грани цы амплитуды, выраженные в целых числах, соответственно равны 365, 183, 122 и 92. Результаты, представ ленные на рисунке 2б для этих θ , мо гут быть найдены и в случае замены ВОПРОСЫ ТЕОРИИ 68 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА ◆ № 9 2011 0 5 10 15 20 25 30 35 40 5 15 25 35 45 55 65 75 85 θ ,° θ ,° Нормированный уровень ошибки, дБ Нормированный уровень ошибки, дБ Абсолютная верхняя граница Верхняя граница Шум округления Фактическая максимальная амплитуда предельных циклов 0 10 20 30 40 50 60 5 15 25 35 45 55 65 75 85 r = 0,9 r = 0,99 Рис. 2. Зависимости нормированного уровня ошибки округления от полюсного угла фильтра рис. 1 для полюсного радиуса r = 0,9 (а) и r = 0,99 (б) а) б) © СТА-ПРЕСС