ЖУРНАЛ «СТА» №4/2007

94 СТА 4/2007 www.cta.ru тельно, их отношение также равно S . Для передаточной функции от входа шума измерений n на выход системы мож- но получить то же отношение S . Таким образом, зная вид функции S ( j ω ) (например, рис. 16), можно сказать, как изменится подавление внеш- них воздействий на систему для разных частот после замы- кания цепи обратной связи. Очевидно, шумы, лежащие в диапазоне частот, в котором | S ( j ω )| > 1, после замыкания обратной связи будут усиливаться, а шумы с частотами, на которых | S ( j ω )| < 1, после замыкания обратной связи будут ослаблены. Наихудший случай (наибольшее усиление внешних воз- действий) будет наблюдаться на частоте максимума M s моду- ля функции чувствительности (рис. 16): (13) Максимум функции чувствительности можно связать с за- пасом устойчивости s m (рис. 13). Для этого обратим внима- ние на то, что |1 + G ( j ω )| представляет собой расстояние от точки [–1, j 0] до текущей точки на годографе функции G ( j ω ). Следовательно, минимальное расстояние от точки [–1, j 0] до функции G ( j ω ) равно: (14) Сопоставляя (13) и (14), можно заключить, что s m = 1/ M s . Если с ростом частоты модуль G ( j ω ) уменьшается, то, как видно из рис. 13, (1– s m ) ≥ 1/ g m . Подставляя сюда соотноше- ние s m = 1/ M s , получим оценку запаса по усилению, выра- женную через максимум функции чувствительности: (15) Аналогично, но с более грубыми допущениями можно за- писать оценку запаса по фазе через максимум функции чув- ствительности [2]: (16) Например, при M s = 2 получим g m ≥ 2 и ϕ m ≥ 29°. Робастность Робастность – это способность системы сохранять задан- ный запас устойчивости при вариациях её параметров, вы- званных изменением нагрузки (например, при из- менении загрузки печи меняются её постоянные времени), технологическим разбросом параметров и их старением, внешними воздействиями, погреш- ностями вычислений и погрешностью модели объ- екта. Используя понятие чувствительности, можно сказать, что робастность – это низкая чувствитель- ность запаса устойчивости к вариации параметров объекта. Если параметры объекта изменяются в небольших пределах, когда можно использовать замену диффе- ренциала конечным приращением, влияние изме- нений параметров объекта на передаточную функ- цию замкнутой системы можно оценить с помощью функции чувствительности (10). В частности, мож- но сделать вывод, что на тех частотах, где модуль функции чувствительности мал, будет мало и влия- ние изменений параметров объекта на передаточ- ную функцию замкнутой системы и, соответственно, на за- пас устойчивости. Для оценки влияния больших изменений параметров объ- екта представим передаточную функцию объекта в виде двух слагаемых: (17) где P 0 – расчётная передаточная функция, Δ P – величина от- клонения от P 0 , которая должна быть устойчивой передаточ- ной функцией. Тогда петлевое усиление разомкнутой систе- мы можно представить в виде G = RP 0 + R Δ P = G 0 + R Δ P . По- скольку расстояние от точки [–1, j 0] до текущей точки A на годографе невозмущённой системы (для которой Δ P = 0) рав- но |1 + G 0 | (рис. 17), условие устойчивости системы с отклоне- нием петлевого усиления R Δ P можно представить в виде: откуда где T – дополнительная функция чувствительности (12). Окончательно можно записать соотношение: (18) которое должно выполняться, чтобы система сохраняла ус- тойчивость при изменении параметров процесса на величи- ну Δ P ( j ω ). Сокращение нулей и полюсов Поскольку передаточная функция разомкнутой системы G = RP является произведением двух передаточных функ- ций, которые в общем случае имеют и числитель, и знамена- тель, то возможно сокращение полюсов, которые лежат в правой полуплоскости или близки к ней. Поскольку в реаль- ных условиях, когда существует разброс параметров, такое сокращение выполняется неточно, то может возникнуть си- туация, когда теоретический анализ приводит к выводу, что система устойчива, хотя на самом деле при небольшом от- клонении параметров процесса от расчётных значений она становится неустойчивой. Поэтому каждый раз, когда происходит сокращение полю- сов, необходимо проверять устойчивость системы при реаль- ном разбросе параметров объекта. В З АПИС Н УЮ К НИЖК У ИНЖЕ Н Е РА н н ш н ж н р д т н ц д м м р н х т м л ч н ш н к р з ц п м н з м н с д л н д с в т м н т с м н п р н з в н м ж щ п з н т т р с м к н р н з д л в с м т т м т р с м к н р н з д л л н х ш ч б ш л н н д ц с в т н с с м ц с в т н с н з с т ч в с г р т м с б с н к к щ к д г ф ц д в т н н м н с н к ц п т л н к ч л т т т д н с л д о н ш л ч к п с л н р н р с м ц с в т н с л г н л б м п щ н м н с к п с з р с м ц в т н с п м л ч б с н б с н с н т м х н д п т ч в с р ц я р м р 1 2arcsin . 2 m s M ⎛ ⎞ ϕ ≥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 1 s m s M g M ≥ − ( ) min 1 ( ) . m s G j ω = + ω ( ) ( ) 1 max ( ) max . 1 s M S j G j ω ω ⎛ ⎞ = ω = ⎜ ⎟ + ω ⎝ ⎠ н м н н е г к п м н н г к ч н ю с с я н м н н л г ч с б с р м р р н е н м д с в м г с м ч л н г н с д л т п з н т с в т н с н з б с н к с в т п с т ч в с р ц р м р е т л р м р е т м н ю с б ш д л г н п з в м н ф ц л н н р щ н е н м н р м р е т р д т н н т т м н н м щ ц с в т н с с н с л в т т д ц с в т н с д л м н н р м р е т р д т ц н т т м о в с в н т ч в с к н ш м н н р м р т с в р д т н ц е т д г м р д т н ц л ч н н н т р н т ч в р д т ц е г л в л н з н т т к с н к к щ к к н е л в г л н н с в д к д п н т н ц с в т н с ч т н н п с о н ш н т р н п н с б т м х н л ч в м н н р м р ц с л ч к щ н л л с с к р д т н ц з н т т м р д т н т р щ ч ю л т м н м н к щ н л с т р ж в л п к с к с к а л в я г щ с в е б р м р к к щ н п н е с т н ж н н ц г р т ч с л в д в д т м т ч в т м л б ш н н р м р ц с ч н н в с у т ч в э м жд г и х д к щ н л о х д м в р т ч в т м а б с р м р е т 0 ( ) 1 , ( ) ( ) P j P j T j Δ ω < ω ω 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 , или , G G G P P R P RP G T + + + Δ Δ < < = = 0 1 , R P G Δ < + 0 , P P P = + Δ У КНИЖК У ИНЖЕ Н Е РА Рис. 16. Функции чувствительности для системы с годографами, показанными на рис. 13 © 2007, CTA Тел.: (495) 234 0635 Факс: (495) 232 1653 http://www.cta.ru а , показан