ЖУРНАЛ «СТА» №4/2007

96 СТА 4/2007 www.cta.ru Аналогичный метод реализуется в инкрементной форме ПИДрегулятора (см. подраздел «Инкрементная форма цифрового ПИДрегулятора») и в последовательной форме ПИДрегулятора [1], где интегрирование выполняется на заключительной стадии вычисления управляющего воздей- ствия. Дискретная форма регулятора Непрерывные переменные удобно использовать для ана- лиза и синтеза ПИДрегуляторов. Для технического вопло- щения необходимо перейти к дискретной форме уравне- ний, поскольку основой всех регуляторов является микро- контроллер, контроллер или компьютер, который опериру- ет с переменными, полученными из аналоговых сигналов после их квантования по времени и дискретизации по уров- ню. Вследствие конечного времени вычисления управляющего воздействия в микроконтроллере и задержки аналогоциф- рового преобразования между моментом поступления ана- логового сигнала на вход регулятора и появлением управ- ляющего воздействия на его выходе появляется нежелатель- ная задержка, которая увеличивает общую задержку в конту- ре регулирования и снижает запас устойчивости. Основным эффектом, который появляется при дискрети- зации и который часто «открывают заново», является появ- ление алиасных частот в спектре квантованного сигнала в случае, когда частота квантования недостаточно высока. Аналогичный эффект возникает при киносъёмке вращаю- щегося колеса автомобиля. Частота алиасного сигнала равна разности между частотой помехи и частотой квантования. При этом высокочастотный сигнал помехи смещается в низ- кочастотную область, где накладывается на полезный сигнал и создаёт большие проблемы, поскольку отфильтровать его на этой стадии невозможно. Для устранения алиасного эффекта перед входом анало- гоцифрового преобразователя необходимо установить ана- логовый фильтр, который бы ослаблял помеху, по крайней мере, на порядок на частоте, равной половине частоты кван- тования. Обычно используют фильтр Баттерворта второго или более высокого порядка. Вторым вариантом решения проблемы является увеличение частоты квантования так, чтобы она, по крайней мере, в 2 раза (согласно теореме Ко- тельникова) была выше максимальной частоты спектра по- мехи. Это позволяет применить после квантования цифро- вой фильтр нижних частот. При такой частоте дискретиза- ции полученный цифровой сигнал с точки зрения количест- ва информации полностью эквивалентен аналоговому, и все свойства аналогового регулятора можно распространить на цифровой. Переход к конечноразностным уравнениям Переход к дискретным переменным в уравнениях аналого- вого регулятора выполняется путём замены производных и интегралов их дискретными аналогами. Если уравнение за- писано в операторной форме, то сначала выполняют переход из области изображений в область оригиналов. При этом оператор дифференцирования заменяют производной, опе- ратор интегрирования – интегралом. Существует множество способов аппроксимации произ- водных и интегралов их дискретными аналогами, которые изложены в курсах численных методов решения дифферен- циальных уравнений. В ПИДрегуляторах наиболее распро- странёнными являются простейшие виды аппроксимации производной конечной разностью и интеграла – конечной суммой. Рассмотрим интегральный член ПИДрегулятора: Продифференцировав обе части по времени, получим Заменяя дифференциалы в этом вы- ражении конечными разностями (левыми разностями), получим где индекс i обозначает, что данная величина взята в момент времени ti (обратим внимание, что здесь и далее индекс i в Ti обозначает не номер временного шага, а интегральный коэффициент ПИДрегулятора). Из последнего выражения получим: (19) Таким образом, очередное значение интеграла можно вы- числить, зная предыдущее и значение ошибки в предыдущий момент времени. Однако такая формула имеет свойство на- капливать ошибку вычислений с течением времени, если от- ношение Δ t / T i недостаточно мало. Более устойчива другая формула интегрирования – с правыми разностями, когда значение ошибки берётся в тот же момент времени, что и вы- числяемый интеграл: (20) Рассмотрим дифференциальный член ПИДрегулятора с фильтром: (см. раздел «По- грешность дифференцирования и шум»). Переходя в этой формуле от изображений к оригиналам, получим: Заменяя дифференциалы конеч- ными приращениями, получим разностное уравнение: (21) Отметим, что для сходимости итерационного процесса (21) необходимо, чтобы то есть (22) При Δ t > T d / N итерационный процесс (21) становится ко- лебательным, что недопустимо для ПИДрегулятора. Лучшими характеристиками обладает разностное уравне- ние, полученное при использовании правых разностей: (23) Здесь условие сходимости выполняется для всех Δ t , и ни при каких значениях параметров не возникает колебаний. Кроме того, последняя формула позволяет «отключить» дифференциальную составляющую в ПИДрегуляторе путём назначения T d = 0, чего нельзя сделать в выражении (21), по- скольку при этом возникает деление на ноль. Можно использовать ещё более точные формулы числен- ного дифференцирования и интегрирования, известные из курса численных методов решения уравнений. Величина такта квантования Δ t выбирается как можно меньше, это улучшает качество регулирования. Для обеспе- В З АПИС Н УЮ К НИЖК У ИНЖЕ Н Е РА л г н т л з е с к м н м г л т р р д к м н м р в г г л т р с д в т н м г л т р т р р в н п н е с к ч т н д ч л н л щ г д в к н м г л т р п р н р м н н п з в з р г н еобходимо перейти к дискретной форме уравнений, поскольку основой всех р гуляторов являетс микро он троллер, контроллер или компьютер, который оперирует с перем нными, полученными из аналоговых сигналов после их квантования по времени и дискрет зации по уровню. Вследствие конечного времени вычисления управляющего воздействия в микроконт оллере и задержки ан лого циф р вого преобразования между моментом поступления ана л г в го сигн ла на вход рег лятора и появлени м управ яюще воздействия на его выходе появляется ежелатель ная задержка, котора увеличивает общую задержку в конту ре регулирования и снижает зап с устойчивости. Основным эффектом, ко орый появляется при дискрети зации и который часто «открывают заново», является появ лен е алиасн х частот в спектре кв нтованного сигнала в случае, когда часто а квантования едостат чно высока. Аналогичный эффект возникает при киносъёмке вращаю щегося колеса автомобиля. Частота алиас го сигнала равна разности м жду частотой помехи и частотой квантования. При этом высоко ный сигнал помехи смещается н з кочас тную бласть, где накладывается на полезный сигнал и создаёт большие проблемы, поскольку отфильтровать его на этой стадии невозм жно. Для устранения алиасного эффекта перед входом аналого цифрового преобр зователя необходимо установить л вый фильтр, кот рый бы ослаблял помеху, по крайней ме ре, на порядок на частоте, равн й по овине частоты кв нто вания. Обычно используют фильтр Баттерворта вт рого или б лее высокого порядка. Вторым ва иан ом решения про б емы является увеличение частоты квантова ия так, чтобы она, по крайней мере, в 2 раза (согласно теореме Котельни кова) была выше максимальной ч стоты пек ра помехи. Это позволяет применить после квантования циф ов й фильтр нижних частот. При акой частоте дискретизации п лученный цифровой сигнал с точки зрения количества информации полностью экв вален ен аналоговому, и все свойства аналогового регулятора можно распространить на цифровой. р х н н ( н с н н н ям р х к н р м н н н я л г г г л т р п н е с м н и в н т г л к н м л г м л н н с н р т н м ч л п н ю р х л т б ж н л г н л р т ф р ц р в н м н ю и в н т т р р в н т г л щ с в е ж с в с б п с м ц и н т г л к н м л г м т р л ж н с л н т д ш н ф р а н н н г л т р б л п м л ю с с ш д п с м ц и в н н н н с т г л н н м с р т г н г л т р д фере ц р вав т м н получим Заменяя ди ференциал в этом в ж н н н м н с м в м н с м л ч д з ч е н л ч н т i р т м н л д i з ч е м м н г г т г н э ф ц е г л т р с н г р ж н л ч к р з р н ч н т г л н л д д щ ч н к д д щ м м н н к к м е с в пл в к ч л н ч н е м н л ш н д т т н л л т ч в г м л т р р в н в м н с м г ч н к м м н л м т г с р ф р ц а н г л т р р д н ф р ц р в н р х д м л б ж н г н л л ч Заменяя дифференциалы конеч м р щ н м л ч н с н н н м т д м с р ц о н г ц с о х д м б (22) р ц о н ц н в с б т н д п т м г л т р ш м р т р с к м л д е н с н н л ч н п з в н в н с л в д м с п н е с к ч н я р м р н к е л б н м г с н м л з л е к ч ф р ц а н с л щ г л т р з ч н к н к е л н н п з в л н м л л г ф р ц р в н т р р в н в н с л н т д ш н н н л ч н т т в н б р е с н ш ш е ч с в г л р в н п ( ) + + ⎛ ⎞ = + − ⎜ ⎟ + Δ + Δ ⎝ ⎠ 1 1 . d d Di Di i i d d T NT u u e e T N t T N t 2 . d t T N Δ < 1 1, d N t T Δ − < ( ) + + ⎛ ⎞Δ = − + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 1 . Di Di i i d N t u u N e e T ( ) ( ) ( ) . d D D d T du t de t u t T N dt dt + = ( ) 1 ( ) ( ) 1 D d d u s sT e s sT N ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ 1 1 . i i i i t I I e T + + Δ = + 1 . i i i i t I I e T + Δ = + 1 1 , i i i i I I e t T + − = Δ ( ) 1 ( ). i dI t e t dt T = 0 1 ( ) ( ) . t i I t e t dt T = ∫ У КНИЖК У ИНЖЕ Н Е РА © 2007, CTA Тел.: (495) 234 0635 Факс: (495) 232 1653 http://www.cta.ru