ЖУРНАЛ СТА 4/2009

98 СТА 4/2009 www.cta.ru Указанные причины приводят к тому, что результат изме рения становится случайной величиной, значение которой изменяется от измерения к измерению. Случайная величина X может быть описана некоторой функцией распределения c математическим ожиданием M ( X ) = m x и среднеквадратичес ким отклонением σ x , которое принимается за случайную составляющую погрешности измерительного прибора. Дис персия случайной величины D ( X ) = σ x 2 . Погрешность средства измерений определяется изготови телем и указывается в эксплуатационной документации. В величину погрешности входит как систематическая , так и случайная составляющая. Если случайная составляющая пре вышает 10% от систематической, то она указывается отдель но (ГОСТ 8.009 84 [4]). Иногда случайная составляющая указывается с помощью автокорреляционной функции или спектральной плотности мощности. Случайная составляющая погрешности может быть сниже на путём усреднения результатов многократных измерений. Если в составе погрешности преобладает систематическая компонента, то усреднение не приводит к повышению точ ности. О наличии случайной составляющей можно судить по рассеянию результатов однократных измерений. Предположим, что с помощью измерительного модуля вы полнено N измерений, в результате которых получены значе ния x 1 , x 2 ,… x N . Усреднение результатов измерений выполня ется по формуле среднего арифметического значения: . (1) Однако x ср также является случайной величиной, посколь ку, выполняя несколько серий измерений и усредняя каждую из них, мы получим отличающиеся друг от друга средние значения x ср для каждой серии. Но x ср будут иметь меньшую дисперсию (среднеквадратическое отклонение), чем изме рительный прибор. Покажем это. Будем считать, что результаты измерений x 1 , x 2 ,… x N явля ются независимыми случайными величинами (выборками из некоррелированного случайного процесса). Тогда диспер сия их среднего арифметического будет равна , (2) откуда , (3) поскольку . В (2) использованы два свойства оператора дисперсии: а) дисперсия произведения случайной величины и констан ты равна дисперсии случайной величины, умноженной на квадрат константы, и б) дисперсия суммы случайных вели чин равна сумме дисперсий каждой из них [5]. Кроме того, считается, что все измерения выполнены одним и тем же прибором, то есть дисперсии всех измерений одинаковы и равны D ( x i ) = σ x 2 , а случайные величины являются некорре лированными. Докажем первое из использованных свойств (подробнее см. [5]). По определению дисперсии D ( X ) и математического ожидания M ( X ) = m x случайной величины X имеем . (4) Поэтому, умножая X на константу C, получим: . Докажем теперь, что дисперсия суммы случайных величин равна сумме их дисперсий. Для этого сначала докажем, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, то есть . (5) Сумма случайных величин X + Y – это такая случайная ве личина, которая принимает все возможные комбинации сумм случайных величин X и Y , то есть X + Y = { x 1 + y 1 , x 1 + y 2 , x 2 + y 1 , x 2 + y 2 ,…, x N + y N }. Поэтому по определению математи ческого ожидания получим: . Аналогичное соотношение для N случайных величин мож но доказать путём попарной группировки случайных вели чин. Формула (5) доказана. Выведем ещё вспомогательное равенство, связывающее дисперсию случайной величины с математическим ожида нием. Пользуясь определением дисперсии (4), получим: . Поскольку M ( X ) = m x , получим . (6) Пользуясь соотношениями (5) и (6), получим дисперсию суммы двух случайных величин в виде: В ЗАПИСНУЮ КНИЖК У ИНЖЕ Н Е РА Рис. 2. Модуль ввода измеряет физическую величину x и выдаёт случайную величину X Х Р ( х ) m x 2 σ х х х Измерительный модуль cp 1 1 N i i x x N = = ∑ ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 = = = ⎡ ⎤ = − = − = ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ N i x i N N i i i i D X M X M X x m N x x N N ( ) 2 2 2 2 2 ( ) ( 2 ) ( ) 2 ( ) ⎡ ⎤ = − = − + = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = − + x x x x x D X M X m M X Xm m M X M X m m 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) N N i i i i N N i i i i D CX Cx Cx N N C x x C D X N N = = = = ⎛ ⎞ = − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ ∑ 1 1 ( ) N N i i i i M X M X = = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) = = = = = = = = = = = = = = ⎡ ⎤ + = + = + = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = + = + = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = + = + ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ N N N N N N i j i j i j i j i j N N N N N N i j i j i j j i i j N N i j i j M X Y x y x y N N x y x N y N N N x y M X M Y N N cp x N σ σ = ( ) cp 2 1 1 2 2 2 1 1 1 ( ) 1 1 ( ) ( ) N N i i i i N i x i i i D x D x D x N N D x D x ND x N N N N = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ σ = = = = ∑ ∑ ∑ cp cp ( ) D x σ = © СТА-ПРЕСС