ЖУРНАЛ СТА 2/2011

x ( t ) вынесена за знак суммирования потому, что она не зави сит от k . Найдём спектр сигнала x д ( t ) (28). Для этого сначала разло жим функцию в ряд Фурье [3], воспользо вавшись её периодичностью: (30) где ω д = 2 π / τ , n – номер коэффициента ряда, τ – период функции. Найдём коэффициенты c n : (31) Знак суммирования в выражении (31) отсутствует потому, что за пределами интервала интегрирования – τ /2 < t < τ /2 все члены суммы для k ≠ 0 равны нулю. Для того чтобы найти интеграл (31), представим игольча тую функцию как предел, к которому стремится прямоуголь ный импульс шириной t и << τ при t и → 0: . (32) Тогда из (31) получим: (33) Если ширина импульса стремится к нулю, то следовательно, c n = t и / τ . (34) Используя это выражение, ряд Фурье для можно записать в виде (см. (30)): (35) Подставляя полученное выражение в (28), получим: (36) Здесь функция x ( t ) внесена под знак суммирования, по скольку она не зависит от n . Найдём теперь спектральную плотность X д ( j ω ) дискретно го сигнала x д ( t ) с помощью преобразования Фурье: , , (37) где S ( j ( ω – ω д n )) – спектральная плотность исходного не прерывного сигнала x ( t ), сдвинутая по оси частот на ω д n = = 2 π n / τ . Таким образом, спектр дискретного сигнала X д ( j ω ) пред ставляет собой серию копий спектров непрерывного сигнала X ( j ω ), сдвинутых друг относительно друга на частоту дискре тизации ω д = 2 π / τ = 2 ƒ д : . (38) На рис. 11 а показан график непрерывного сигнала x ( t ) (на рисунке слева) и модуля его спектральной плотности | X ( ƒ )|, ƒ = = ω /2 π (на рисунке справа). Поскольку функция | X ( ƒ )| сим метрична относительно оси ординат, на рис. 11 показан толь ко график в правой полуплоскости. Исходный непрерывный сигнал x ( t ) можно рассматривать как дискретный с нулевым периодом дискретизации ( τ → 0, ω д → ∞ ). Поэтому модуль его спектральной плотности является непериодической функцией (рис. 11 а , справа). После дискретизации функции x ( t ) с частотой ƒ д на графи ке модуля спектральной плотности появляется бесконечное количество копий | X ( ƒ )| (рис. 11 б , в , справа), сдвинутых друг относительно друга на величину ƒ д . Степень отличия спект ра дискретного сигнала от спектра непрерывного характери зует величину погрешности дискретизации. С уменьшением частоты дискретизации, как следует из (38) и как видно на рис. 11, копии спектров сближаются, увеличивая погреш ность дискретизации. Предположим, что вся полезная информация, содержаща яся в непрерывном сигнале, заключена в области от 0 до час тоты ƒ c , которую поэтому можно считать границей спектра непрерывного сигнала (на рис. 11 эта область спектра зашт рихована). Если для восстановления сигнала используется фильтр с граничной частотой 2 ƒ c (рис. 11 в ), который убира ет все составляющие спектра, лежащие выше 2 ƒ c , то наличие копий в спектре дискретного сигнала не искажает форму сигнала после его восстановления. Если же ближайшая копия спектра приблизится к оригина лу настолько, что внесёт искажения в его форму (рис. 11 г ), то восстановить исходный сигнал становится невозможно. По этому для исключения наложения спектров частота дискре тизации ƒ д должна быть, по крайней мере, в 2 раза выше гра ничной частоты спектра ƒ c , то есть ƒ д > 2 ƒ c , (39) как и требуется по теореме Котельникова. 100 СТА 2/2011 www.cta.ru В ЗАПИСНУЮ КНИЖК У ИНЖЕ Н Е РА /2 /2 и д д и и /2 /2и 1 1 ( ) ( ) t j nt j nt n t c t e dt t e dt τ − ω − ω −τ − = δ = δ = τ τ ∫ ∫   и и д д и и 2 2 д д и 2 2 и д д 1 1 2 2 t t j n j n t t j n j n t e e e e t j n j n − ω + ω − ω + ω ⎛ ⎞ − = − = = ⎜ ⎟ τ ω τ ⎝ ⎠ ω и д и и д sin 2 . 2 t n t t n ⎛ ⎞ ω⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = τ ω 0 sin( ) lim 1, x x x → ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) ( ) k f t t k ∞ =−∞ = δ − τ ∑  и д ( ) ( ) . j nt k n t f t t k e ∞ ∞ ω =−∞ =−∞ = δ − τ = τ ∑ ∑  и и д д д ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . j nt j nt k n n t t x t x t t k x t e x t e ∞ ∞ ∞ ω ω =−∞ =−∞ =−∞ = δ − τ = = τ τ ∑ ∑ ∑  ( ) и д д ( ) j nt j t n t X j x t e e dt ∞ ∞ ω − ω =−∞ −∞ ω = = τ ∑ ∫ и д ( ) j nt j t n t x t e e dt ∞∞ ω − ω =−∞ −∞ = = τ ∑ ∫ ( ) ( ) д и и д ( ) ( ) j n t n n t t x t e dt S j n ∞∞ ∞ − ω−ω =−∞ =−∞ −∞ = = ω − ω τ τ ∑ ∑ ∫ ( ) ( ) и д д ( ) n t X j X j n ∞ =−∞ ω = ω − ω τ ∑ x ( t ) t T k+ 1 x д ( k τ ) τ k x ( t ) Рис. 10. Дискретизация непрерывного сигнала ( ) ( ) k f t t k ∞ =−∞ = δ − τ ∑  /2 д д /2 1 ( ) , ( ) , j nt j nt n n n f t c e c f t e dt τ ∞ ω − ω =−∞ −τ = = τ ∑ ∫ /2 /2 д д /2 /2 1 1 ( ) ( ) j nt j nt n k k c t k e dt t k e dt τ τ ∞ ∞ − ω − ω =−∞ =−∞ −τ −τ = δ − τ = δ − τ = τ τ ∑ ∑ ∫ ∫   /2 д /2 1 ( ) . j nt t e dt τ − ω −τ = δ τ ∫  и и и и 1, если / 2 / 2 , 0 ( ) 0 в противном случае t t t t t − < < → ⎧ δ = ⎨ ⎩  © СТА-ПРЕСС